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GÉOiMÉTRlE. — Géiiéiiilion des courbes gauches de tous les ordres sur l'hy- 

 perboloïde, au moyen de deux faisceaux de courbes d'ordre inférieur. — 

 Propriétés des faisceaux de courbes; par M. Chasles. 



« 32. Nous appelons faiscenu de courbes sur l'iiyperboloïde, un 

 système de courbes de même ordre et de même espèce, 'M{a:'' j-i), qui pas- 

 sent toutes par les a/"/ mêiues points ( 18). Nous dirons que ces ipij points 

 sont les points fondamenlivix ou la base du faisceau, expressions employées 

 dans la théoiie des courbes planes. 



» Chacune des courbes du faisceau est déterminée par un seul point au- 

 tre que les 2pq points communs à tontes; conséquemment chaque courbe 

 est aussi déterminée par sa tangente en un des points fondamentaux. De 

 sorte que toutes les courbes d'un faisceau sont représentées par une équa- 

 tion telle que 



U[xpyj) + 'kWixPj'') = o. 



.■ Les tangentes à quatre courbes, en un des points fondamentaux, ont 

 un rapport anharmonique que nous dirons être aussi le rapport anharmo- 

 nique des quatre courbes. 



.1 Si l'on a deux faisceaux, chacun d'ordre et d'espèce quelconque, dont 

 les courbes se correspondent l\cu\ à deux, de manière que le rapport an- 

 harmonique de quatre courbes du premier faisceau soit égal à celui des 

 quatre courbes correspondantes du second faisceau, nous dirons que les 

 courbes des deux faisceaux se correspondent anharmoniquement. 



I) 55. Cela posé : Quand on a deux faisceaux de courbes (gauches d'ordres 

 quelconques m et m', telles que M {^'' y'') et W [x^' y'>') qui se correspondent deux 

 à deux unluirnwniquement, le lieu des points d'intersection des courbes corres- 

 pondntes est une courbe d'ordre (m -+- m') d'espèce M (x''-*-'^ y''"^''), f/'»' J'osse 

 par les i pq points, hrse du premier faisceau, el par les sp'q' points, base du 

 second faisceau. 



» En effet, les courbes des deux faisceaux sont représentées par les 

 équations 



M(^/'jV, -t- XM'ixPj'') = o 



et 



Nfa-'''7»'l + lW{x-P' j^) = o, 

 entre lesquelles il suffit d'éliminer X pour avoir celle de la courbe lieu des 



C. R., iSfit, 2""^ Srmrsire. (T. LUI, N" 1'. 



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