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points d'intersection des courbes correspondantes. Cette équation est 



M{xPf) . WixP'j^) - W{xPr'') • ^{xP'j-i') = o, 

 et se réduit à la forme 



ce qui démontre le théorème. 



« Ce théorème se conclut aussi immédiatement du cas des courhes 

 planes, par la méthode des projections coniques (16) ; on a sur le plan deux 

 faisceaux de courbes d'ordre m et m' à points multiples d'ordre p et « 

 pour les unes et d'ordre p' et q' pour les autres, en deux mêmes points 

 P, Q. Ces courbes se correspondent deux à deux, et les points d'intersec- 

 tion des courbes correspondantes sont sur une courbe d'ordre [m -+- m') 

 qui a deux points multiples d'ordre {p + p') et {q -h q'), aux mêmes points 

 P et Q; et à cette courbe correspond sur l'hyperboloïde la courbe 



» 54. Les courbes de chaque faisceau peuvent être des sections planes 

 dont les plans passent par luie rriêiiie droite. Donc : 



» Quand tes courbes d\in faisceau d'ordre m, M(x''y') sont coupées par des 

 plans menés par une même droite et correspondant anharmoniquenient aux 

 courbes, le lieu des points d' intersection est une courbe d'ordre (m + a), 

 M'^x''"^' y'"^') qui passe par les m- points fondamentaux du faisceau et par 

 les deux points oit la droite rencontr'e l'Iiyper'boloïde. 



» 53. On peut prendre pour les courbes du premier faisceau , dans 

 le théorème général, des groupes de p directrices de l'hyperboloïde, en in- 

 volution et correspondant anharmoniquement aux courbes du premier 

 faisceau. La courbe décrite sera d'ordre (/n' + ys) ou [p + p' + q') et d'espèce 

 UipcP^P' ji'). 



» On peut de même prendre pour les courbes du deuxième faisceau des 

 groupes de q génératrices en involution, correspondant anharmonique- 

 ment aux groupes de directrices; la courbe décrite est alors d'ordre {p-i-q) 

 et d'espèce M(x''j'^). 



» 56. Nous avons supposé que les courbes des deux faisceaux étaient 

 représentéespar leurs équations. Mais la considération de ces équations n'est 

 pas nécessaire, car ou forme un faisceau de courbes d'ordre 2in, en cou- 

 pant l'hyperboloïde par un faisceau de surfaces d'ordre m. Un autre faisceau 

 de surfaces donnera un autre faisceau de courbes gauches, et si les surfaces 

 des deux faisceaux se correspondent deux à deux anharmoniquement, les 



