( I2o5 ) 



courbes se correspondront aussi anharmoniquemenl, et le lieu des points 

 d'intersection des courbes correspondantes sera luie courbe d'ordre 2 [m 4- m') 

 et d'espèce M (.x'^^'»' j'"+'"'). 



w Mais ce mode de génération des courbes gauches an moyen de deux 

 faisceaux de surfaces, n'est point particulier à l'hyperboloïde, il s'applique 

 à toute surface d'ordre quelconque, en vertu du théorème suivant : 



» Quand on a deux fahceaux de surfaces d'ordre m el m', qui se cor- 

 respondent anharmoniquemenl^ ces surfaces forment sur une autre surface 

 d'ordre quelconque R, deux faisceaux de courbes d'ordre Km et Km' f/i»' se 

 correspondent aussi anharmoniquement, et le lieu des points d'intersection des 

 courbes correspondantes est une courbe d'ordre K (m + m') qui passe par 

 tes Km- points communs cmx courbes du premier faisceau, et par les Km^ 

 points communs aux courbes du deuxième faisceau. 



Quelques propriétés d'un ou de deux faisceaur de courbes gauches. 



n 57. Qucmd deux faisceaux de courbes qauches d'ordres quelconques ont un 

 point fondamental commun, il existe, en qénéral, trois courbes du premier fais- 

 ceau qui sont osculatrices à trois courbes du second faisceau. 



» 58. Dans un faisceau de courbes gauches d'ordre quelconque, une droite 

 étant menée par un point fondamental, il existe trois courbes dont les plans oscu- 

 lateurs en ce point passent par la droite. 



» 59. Dans un faisceau de courbes gauches qui ont entre elles un contact du 

 premier ordre en un point fondamental, il existe une courbe qui, au lieu dette 

 tangente cmx autres, a un point double en ce point. 



» Et, en général, dans un faisceau de courbes gauches qui ont un contact 

 d'ordre r, en un point fondamental, il en existe une qui, au lieu d'osculer les 

 autres, a un point multiple d'ordre (r + 1). 



» 40. Dans un faisceau de courbes gauches qui ont toutes un point double en 

 un point fondamental, les couples de tangentes cmx courbes en ce point sont en 

 involution ; 



» Et il existe deux courbes qui ont un point de rebroussemenl . 



» En général, dans unjaiscecm de courbes gauches qui ont toutes un point 

 multiple d^ordre r en un point Jbndamental, les systèmes des r tangentes à ces 

 courbes en ce point sont en involution; 



» Et il existe [ir — 2) courbes dont deux branches s'osculent et forment un 

 rebroussement accompagné de [r — 2) autres branches. 



