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Discussion et cas particuliers relatifs aujn deux faisceaux (jui servent à former une courbe 



(Tordre (m + in'). 



» il. i" Quand les courbes i\\\n faisceau ont toutes un point multiple 

 d'ordre /■ en un des points fondamentaux, la courbe d'ordre [m -\- m') a un 

 point multiph^ coïncident du même ordre. 



" 2° Quand les deux faisceaux ont un même point fondainenlal, et qu'en 

 ce point les com-bes du premier faisceau ont un point nuilliple d'ordre/, 

 et celles du second faisceau un point multiple d'ordre r' : la courbe 

 d'ordre (/?i -k- m') a un point multiple coïncident d'ordre (r-t- /'). 



» 3" Si, dans cette hypothèse, r^i-', et que les /■ branches de chaque 

 courbe du premier faisceau soient tangentes aux r branches de la courbe 

 correspondante du second faisceau : le point multiple de la courbe d'ordre 

 [m -+- m') est d'ordre { 2 /■ + 1). 



» 4° Si les courbes du second faisceau sont les sections faites sur l'hy- 

 perboloïde par des plans tangents aux /branches de chaque courbe en leur 

 point multiple commun a, ces plans étant menés par une même tiroile ni: 

 le lieu des points dniis lesquels ces plans rencontreront les courbes auxquelles ils 

 sont tangents, jioinls en nombre r (m — 2 ) sur chaque courbe, sera une courbe 

 d'ordre (m + 2r), M' [^'''^''y'''*'''), qui aura en a un point multiple d'ordre 

 (2r+ i) et qui passer 1 par les ( 2 pq — r'") points de la base du faisceau, et 

 par le point I. 



» 5° Si, dans la même hypothèse encore que ci-dessus, les /■ branches 

 de chaque courbe du |)i-emier faisceau ont un contact d'ordre s avec les 

 /• branches de la courbe correspondante du second faisceau : le point mul- 

 tiple de la courbe d'ordre [m -+- m' ) est d'ordre [^r + s). 



» 6° Si les deux faisceaux ont un même point fondamental r7, et que les 

 courbes du premier faisceau aient entre elles en ce point un contact 

 d'ordre r, la courbe d'onlre {m -+- m') aura en n im point double, et une 

 de ses branches aura un contact d'ordre /• avec les courbes du premier 

 faisceau, et l'autre branche un contact du même ordre avec une des courbes 

 du second faisceau. 



» De sorte que, si les courbes du premier faisceau sont simplement tan- 

 gentes entre elles, la courbe d'ordre (m +///) aiua un |)oint double dont 

 une branche sera tangente aux courbes du premier taisceau. 



» 7° Si les courbes du premier faisceau ont un contact d'ordre r en un 

 point rt, et les courbes du second faisceau lui contact d'ordre r' au même 

 point, la courbe d'ordre (w -f- m') aura ini point double en a; une de ses 



