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branches aura un contact d'ordre r avec la courbe du second faisceau, qui 

 correspond à celle du premier faisceau, qui a un point multii)le d'ordre 

 ^/- _)_ i) (59), et l'autre branche aura un contact d'ordre r' avec la couihe du 

 premier faisceau correspondante à celle du second fiiisceau, qui a un point 

 multiple d'ordre (;•'-<- i.) 



» 8" Si les courbes des deux faisceaux ont la même tangente en a, la courbe 

 d'ordre (/?/ + /«') aura un rebroussement tangentiellement à cette droite; 

 et l'une de ses branches aura un contact d'ordre /• avec une courbe du second 

 faisceau, et l'autre branche un contact d'ordre i^ avec une courbe du 

 premier faisceau. 



» 9° Si, quand les deux faisceaux ont un même point fondamental a, les 

 courbes du premier faisceau sont tangentes respectivement aux courbes 

 correspondantes du deuxième faisceau : la courbe d'ordre (m -f- m') a un 

 point triple en a. Les trois branches de la courbe en ce point sont tangentes 

 respeclivemeiit aux trois courbes du premier faisceau osculalrices aux trois 

 courbes du deuxième faisceau qui leur correspondent (37). 



» io"Si les courbes du deuxième faisceau sont des sections planes dont 

 les plans passent par une même droite ni, menée parle point fondamental 

 a, tangentiellement aux courbes en ce point, il en résidte ce théorème : 



» Quand on a un faisceau de courbes gauches d'ordre m, M (x^'y''), si par 

 une droite al qui passe par un point fondamental a, on mène des plans tangents 

 aux courbes en ce point, dont chacun rencontre la courbe à lacjuelle il est langent 

 en (m — a) autres points : le lieu de ces points est une courbe d'ordre [m +2), 

 iVI' [x'''^' y''^') 7'" ^' "" point triple en a, et qui passe par les (2 pq — i) autres 

 points fondamentaux et par le point I. 



» Les trois branches de la courbe en n sont oscnlatrices aux trois cour- 

 bes du faisceau dont les plans osculaleurs passent par la droite al (58 j. 



» II" Si les courbes d'un faisceau ont un contact d'ordre r avec les 

 courbes correspondantes de l'autre faisceau, la courbe d'ordre [m -h )n') 

 a un point multiple d'ordre (/ -+- 2). 



Propriétés générales d'uri faisceau de courbes gauches. 



)) 42. Nombre des courbes d'un faisceau d'ordre m, M(x''y''), tangentes 

 à une génératrice ou à une directrice de l' hyperboldtde : 



["i p — 2) courbes tangentps à ime génératrice, 

 (2 (y — 2) courbes tangentes à une directrice. 



