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" 45. Nombre des courbes du faisceau d'ordre ni, M (x''y'), tangentes à une 

 section plane de [liyperboloide : 



» Ainsi ce nombre ne dépend que de l'ordre des courbes du faisceau et 

 non de leur espèce. 



» Si le plan de la section passe par un des points fondamentaux du fais- 

 ceau, le nombre des courbes tangentes à ce plan est diminué de deux uni- 

 tés, et est 2 (/7 + ç) — 4- 



» Et si les courbes du faisceau ont un point double au point fondamental 

 par lequel passe le plan de la section, le nombre des courbes tangeutes à ce 

 plan est i{p -r-q) —€>. 



» Eu général, si les courbes du faisceau ont un point multiple d'ordre r 

 en un point fondamental, il existe [2 (/>-+- ^) — 2 r — 2] courbes tangentes 

 à un plan passant par ce point. 



» 4i. Si par une droite Qlon mène des plans tangents à chaque courbe d'un 

 faisceau d'ordre m, M ( x'' v'), tes courbes du mcnie ordre et de même espère 

 qu'on peut mener par les 2 pq points de contact de chaque courbe et par le point 

 Q. (2,3) forment un faisceau. 



o C'est-à-dire que toutes ces courbes passent par (2pq — i) points com- 

 muns, indépendamment du point Q. 



» 45. Courbe lieu des points de contact des plans tangents à toutes les courbes 

 d'tm faisceau m, M (x'' y*), qu'on peut mener par une droite. 



» Cette courbe est d'ordre 2 m çt d'espèce M.'{x-''j-''), et passe par les 

 2 pq points base du faisceau et par les deux points où la droite 01 rencon- 

 tre l'hyperboloïde. 



u 46. Si la droite ni passe par un point fondamental du faisceau, la 

 courbe M i x'^'' j'i) a en ce point un point triple. 



» Et en général, si les courbes du faisceau ont toutes lui point multiple 

 d'ordre /en un point fondamental, et que la droite 121 passe par ce point, 

 la courbe décrite a un point nudtiple d'ordre (2 r + i). 



)i 47. Courbe lieu des points de contact de toutes les courbes d'un faisceau 

 d'ordre m, M(x''y*) par les directrices de l'hyperboloïde. 



» Cette courbe est de l'ordre (2m — 2) et d'espèce M(x-''j^*"'). Elle 

 passe par les 2pq points de la base du faisceau. 



■> 48, Si une conique tracée sur l' hyperboloïde passe par un point fondamen- 

 tal d'un faisceau de courbes d'ordre m, M(x''y''), et que par une droite fixe Hi 

 qui part d'un point 12 de la conique, on mène des plans aux m points d'intersection 



