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de chaque courbe du faisceau par la conique, lesquels rencontrent la même 

 courbe en m (m — i) autres points: le lieu de ces points est une courbe d'ordre 

 (3 m — 2), M (x'""^''~* y^+î-i ^ qui passe par les apq points fondamentaux du 

 faisceau^ et qui a deux points multiples, l'un d'ordre (m — x) en Q., et l'autre 

 d'ordre m en I. 



» 49. Si par les p points dans lesquels une génératrice de l' hyperboldide 

 rencontre chaque courbe d'un faisceau d'ordre m, M (x'' y'), on mène les p di- 

 rectrices, lesquelles rencontrent la même courbe en p (q — j ) autres points: le 

 lieu de ces points est une courbe d' ordre (nu- p — i ), M' (x^/* y'~'). 



» 50. Observation. — Tous les théorèmes contenus dans ce Mémoire se 

 peuvent démontrer de deux manières, comme nous l'avons dit (16 et 55); 

 soit directement au moyen des coordonnées sur l'hyperboloïde, soit en 

 considérant les courbes gauches comme la perspective de courbes planes 

 qui, à raison des deux droites de l'hyperboloïde qui passent par l'œil, 

 sont des courbes à points multiples. 



» J'ai employé depuis fort longtemps ce second procédé de démonstra- 

 tion, le plus simple, dans \\n Mémoire intitulé : Recherches sur les projections 

 stéréocjraphiques et sur diverses propriétés générales des swfaces du second 

 ordre ( i ), et dans Y Aperçu historique, notamment pour démontrer que 

 la projection de la courbe d'intersection de deux surfaces du second ordre 

 est une courbe du quatrième ordre à deux points doubles, d'où j'ai conclu 

 (en vertu du principe de dualité) que la développable circonscrite à deux 

 surfaces du second ordre est du huitième ordre (2). 



» Quant à l'idée de former sur l'hyperboloïde le système de coordonnées 

 décrit ci-dessus (2-11), j'ai été informé depuis, parime Lettre de M. Cayley. 

 que lui-même avait exposé ce système de coordonnées dans le Philosophicnl 

 Macjazine (numéro de juillet 1861, p. 35-38); et j'ai vu dans cet article que 

 M. Plucker avait déjà inséré un [Mémoire sur le même sujet dans le t. XXXIV 

 du Journal de Mathématiques de Crelle, p. 34i-359, année 1847). Ainsi 

 c'est à M. Plucker qu'est due la première publication sur cette matière. 

 M. Cayley a remarqué la différence qui peut exister entre l'ordre d'une 

 courbe gauche et le degré de son équation, et a classé les courbes d'un 

 même ordre en espèces, conformément à la formule m = p -\- q, comme je 



(i) Voir Annales de Mathématiquex, etc. de M. Gergonne, t. XIX, p. 157-175; 

 année 1828. 



(2) Aperçu, etc., p. 24g-25o. 



