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 l'ai fait aussi (9); ce qui paraît avoir échappé au savant géomètre et physi- 

 cien de Bonne. Mais, du reste, les deux éminents géomètres se sont bornés à 

 peu près au simple exposé de la méthode analytique qui naît du système 

 de coordonnées dont il s'agit, sans traiter les nombreuses questions aux- 

 quelles donne lieu la théorie des courbes gauches tracées sur l'hyperbo- 

 loïde (i). La plus grande partie du travail de M. Plucker roule sur l'applica- 

 tion de la projection stéréographique, comme je l'avais fait dans le Mémoire 

 de 1828. Cette rencontre sur un tel sujet n'a "rien d'étonnant, d'au- 

 tant plus que le Recueil du savant M. Gergonne, bien qu'il ait rendu de 

 véritables services aux Mathématiques, a été peu répandu, et que les exem- 

 plaires en sont devenus extrêmement rares (a). » 



f I ) M. Cayley a publié d'autres recherches sur la reprcscnlation analytique des courbes 

 à double courbure considérées de la manière la plus générale dans l'espace, mais qui n'ont 

 pas de rapport avec le système de coordonnées sur l'hyperboloïde. (Voir Quarterly Math. 

 Journal, t. III, p. 225, année iSSt), et t. V, p. 8i, année 1861.) 



Ayant dit dans ma communication du 4 novembre 1861 [Comptes rendus, t. LUI, 

 p. 768), en citant un Mcmoiie de M. Steiner, que ce géomètre démontrait dans ce Mémoire 

 l'existence de vingt -sept droites sur une surface du troisième ordre, je profite ici de l'occa- 

 sion d'ajouter que ce beau théorème est dû à M. Cayley, qui l'avait démontré antérieure- 

 ment dans son Mémoire : On the triple tangent planes of surfaces of the t/iinl order, 

 inséré dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. IV, p. 1 1 8-1 32, année i849- 

 M. Salmon a pris part aussi à celte découverte importante par ses propres recherches com- 

 muniquées à M. Cayley. (Voir ibid., p. i32.) 



(2) Qu'on me permette, par cette raison, de rapporter ici les deux théorèmes suivants 

 qui, par leur généralité et les nombreuses conséquences qu'on en tire, peuvent encore offrir 

 quel(]ue intérêt ajirès plus de trente ans. 



I. Quand des surfaces du second ordre sont inscrites dans une nicine surface A du même 

 ordre, l'œil étant placé en un point de celle-ci, et le plan du tableau étant parallèle au plan 

 tangent en ce point : 1" les perspectives des contours apparents de toutes les surfaces sont des 

 coniques homothétiques ; et 2" les centres de ces coniques sont les perspectives des pôles des 

 courbes dç contact île ces surfaces avec la surface A. 



Les surfaces inscrites à la surface A peuvent être infiniment aplaties, et se réduire au.\ 

 courbes de contact, c'est-a-dire à des sections planes de la surface A. 



Si le point de la surface A |)ris pour position de l'œil ou des concs projetants, est un des 

 ombilics de la surface, toutes les |)erspcctives des surfaces inscrites ou des sections planes 

 de la surface A seront des cercles. 



H. Quand des suif aces du second ordre circnnsctites à une même surface A rlu même ordre 

 sont coupées par un plan tangent à celle-ci en un point S : 1° toutes les coniques provenant 

 de l'intersection des surfaces par ce plan, auront, étant prises ilcux à deux pour centre 

 dliomolngie, le point S; 2" les polaires de ce point par rapport h ces coniques seront les 



