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 Donc il est évident que {p — qvY sera moindre que (x — ^v)^ si x < /j' 

 ou si j- <5'. Toujours excluant le cas, on a en même temps 



X = o, y z= o. 



Je nomme ce résultat la conclusion A. 



n J'ajoute une observation importante pour ce qui sort immédiatement 

 de la forme de l'équation (2) : c'est que (DA)^ sera plus grand que (DA)- 

 si X = o pour toute valeur de pi. > o, et de même si fi. = o pour toute 

 valeur de X>o. Je nomme cette observation conclusion B. 



» En vertu de ces deux conclusions, on peut démontrer très- fa ci le ment 

 ce qui est le but du théorème Lagrange donné dans les Additions de l'Al- 

 gèbre d'Euler, c'est-à-dire que la condition nécessaire et suffisante que - 



soit une convergente de v sera que la valeur [p — qv) sera toujours aug- 

 mentée en diminuant ou p ou q, ou tous les deux. 



» La nécessité de cette condition découle immédiatement et avec sur- 

 abondance de la conclusion A^ qui affirme qu'un changement quelconque 

 de p qui ne le rend pas égal à p', ou de q qui ne le rend pas égal à q\ 

 aura l'effet d'augmenter p — qv. 



» Pour prouver que la condition est suffisante, il faut montrer que si a 

 et b ne sont pas simultanément de la forme /j, q, a — bv peut être diminué 

 en diminuant ou a ou 6, ou tous les deux. 



» Si — est une convergente de v du rang e, 



— une autre convergenle de v du rang i. 



» 1° Si a = pe, b = qi, si i > e, il découle de la conclusion ^, que 

 (p<, — ÇgV)^ sera plus petit que (/>e — ÇjV)% et de même si e>/, {pi — qrjT 

 sera plus petit que (/>« — Çjv)^, et conséquemment p^ — ç^v diminue en 

 diminuant ou pe ou ç,-. 



2° Si l'une au moins des suppositions faites en (i) n'a pas lieu, par 

 exemple si a tombe entre p^ et pe+, , en vertu de la conclusion A, [p^ — bv) 

 sera plus petit que a — bv, et de même si b tombe entre 7, et ^,+,, a — qiV 

 sera plus petit que a — bv. 



» Donc, à moins que a^^pe, b = qe, (a — bv) ne sera pas un muii- 

 mum. 



» La conclusion A, quoiqu'elle n'ait pas été formellement énoncée par 

 M. Hermite, était contenue implicitement, je dois le dire, dans une belle 



