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l'our que I soit un invariant inlégral, il faut et il suffit que M soit un mni- 

 tiplicatenr des équations (i), au sens de Jacobi (Poincaré, Mémoire sur le 

 problème des trois corps). Ce théorème : i" permet de construire tous les 

 invariants intégraux du type (2) et 2" montre dans quelle mesure on peut 

 tirer parti d'un tel invariant connu a priori. Ce sont ces mêmes questions 

 que je veux résoudre ici pour les invariants intégraux représentés par des 

 intégrales {n — i)-uples. 



» Convenons de désigner abrévialivenient par (5w, le produit Sa?, tx^ . . . \v,^ 

 d'oii l'on enlève le facteur %Xi. et considérons l'intégrale ( n — i )-upIe, 



(3) l^fj'--.f^U,(.T„x, 



)(Vo,-, 



les M, désignant des fonctions de x^, .r,, . . ., .r„. 



» Si l'on exprime que I est un invariant intégral, c'est-à-dire si l'on 



exprime qiie-^ est nul quel que soit le champ à {n — i) dimensions qui 



sert de guide à l'intégration, on est amené à écrire les équations sui- 

 vantes 



dUo ^^^ dXn 



'■'>) S^.-S-H^.S^-"*',-- 



( p = r, 2, . . ., n 



dX,- 



où l'on a posé i^ ~ 51 "~ ' 



i 



n Posons, conformément à une notation reçue, 





^^^)^i;^^£,' b(6).-=2m. 



» Les n équations ( 4 ) reviennent à l'identité 



(5) A[B(0)] - BfA(9y| = -i2B(0). 



en sorte que les équations A(0 ) — o, V,(H ) = o forment un système com- 

 plet. 



» 2. Cela étant, résolvons le premier problème, c'est-à-dire essayons de 

 construire l'intégrale I, ou, ce qui revient au même, le symbole B (9 ). 



» Soit II. un multiplicateur du système ()'). on aura A (;/.)-!- ij. i2 — o; 

 posons, en outre. 



.t lH^) = r.(^)-^^.^^ 



