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holomorphc lorsque u varie entre les limites u(a), u{h); /{z) est une 

 toiiction donnée quelconque de :;. 

 » Envisageons l'intégrale 



J=/ ¥{tl)yXz)ch, 

 cl la fonction 



0(*-)=2?(«)^"- 







» En développant V(ii) suivant les puissances de u, on aura 



(2) F(a)=2^''""' 







OÙ r,, aura, diaprés Moivre et Lagrange, la forme suivante 



oii ;■ désigne une racine quelconque de l'équation génératrice G(/) = o 

 de la série récurrente (2), de degré de multiplicité >-; V^iji) désigne un 



certain polynôme en n de degré >, — i , et le signe V s'étend à toutes les 



racines de l'équation génératrice. D'ailleurs, le premier membre de réc[ua- 

 tion génératrice ne diffère du dénominateur de la fraction rationnelle 



F(//) que par le changement de u en -• 



» Supposons que toutes les racines soient comprises à l'intérieur du 

 cercle de convergence de la série G, et considérons dans <,\ la partie cor- 

 respondant à une des racines r d'ordre \. On peut alors écrire 



Pr(«) = Ao + A,« + A,«(// — i) +...+ A>,_, n{n — \)...{n — \ + 2), 



d'où, en posant successivement « = o, i , 2, . . ., >, — 2, on calculera les 

 coefficients A, au moyen de 



P,,(o), P,(i), ..., P,(>.— 2). 



n La racine /donnera donc dans J une partie de la forme 



IV- A„ 2 ?(")'•" + A, 2 «?('0 '•" +• • ■ 







+ A,._, ^n(n- \)...(n - 1 -h :i)o{n),-". 



