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définissent u. points (x, y, ~) de la surface variables avec u et v, avec la 

 condition que, pour ces points, le déterminant fonctionnel 



dx ôy d.v dy 

 du dv ôv du 



ne s'annule pas identiquement. De plus, on doit pouvoir déterminer, et 

 d'une manière unique, des fonctions R et R, du type indiqué, de manière 

 que, pour un système particulier de valeurs de u et v, les [a points corres- 

 pondants soient [j. points arbitrairement choisis sur la surface f. 



Or, les choses ne se passent pas pour les surfaces comme pour les courbes : 

 on peut montrer que, en général, le problème que nous nous sommes 

 proposé est impossible; c'est-à-dire qu'il est impossible, quel que soit le 

 nombre [j., de faire la détermination demandée de R et R, . Sans entrer dans 

 la démonstration de ce théorème, je dirai seulement qu'elle résulte de ce 

 que, quand le problème est possible, il existe sur la surface une famille de 

 courbes algébriques dépendant de certains paramètres, le nombre de ces 

 paramètres dépassant le genre des courbes, et ceci ne peut arriver que 

 pour certaines classes particulières de surfaces algébriques. 



)) 2. Il y a donc seulement des catégories spéciales de surfaces pour 

 lesquelles on peut se poser le même problème que pour les courbes. Sans 

 m'arrêter ici à leur étude, qui ne présente pas de difficultés, j'envisage 

 maintenant une surface / quelconque. Prenons deux fonctions ration- 

 nelles R et R, dépendant de certains paramètres arbitraires, et considérons 

 les deux équations 



R(a-, y, s) = H, 



que l'on suppose déterminer un nombre limité p de points de la surface, 

 variables avec u et v, pour lesquels le déterminant fonctionnel de a; et j' 

 par rapport k u et à i> n'est pas identiquement nul. Soit tî le nombre des 

 points qui, parmi ces p points, peuvent être pris arbitrairement pour un 

 système donné de valeurs de u et v, la différence 



p — TU 



aura, pour toutes les fonctions rationnelles possibles R et R,, un certain 



. minimum qui sera différent de zéro, si la surface n'appartient pas à la classe 



spéciale dont nous avons parlé plus haut. Ce minimum est évidemment le 



même pour toutes les surfaces qui se correspondent d'une manière bira- 



