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 on constate aisément que l'équation (i) devient 



^ ^ dp'^ dq'^ dp dq dpdq Oq^ Op- ' 



elle est vérifiée par/^ c/, — i et u, c'est-à-dire par les quatre coefficients de 

 l'équation du plan tangent. 



» Donnons d'abord la signification géométrique de cette équation. Con- 

 sidérons la surface F, que nous appellerons principale, pour laquelle la 

 fonction u de/?, q serait précisément /(/j, q). L'équation (2) exprime jus- 

 tement que si l'on fait se correspondre point par point, iivec parallélisme 

 des plans tangents, les surfaces S et F, les asymplotiqites de l'une des sur- 

 faces ont pour images sur l'autre un réseau conjugué. 



» Si, par exemple, on prend /= \! i + p- + q- , la surface F est une 

 sphère, les surfaces S sont des surfaces minima, et les lignes de longueur 

 nulle, images des asymptotiques (droites isotropes) de la sphère, forment 

 sur la surface minima un réseau conjugué. De même, la représentation 

 sphérique des asymptotiques d'une surface minima forment sur la sphère 

 un réseau conjugué, c'est-à-dire orthogonal. 



» 2. Les caractéristiques de l'équation (2) sont les asymptotiques de la 

 surface principale F. Si l'on prend comme variables les paramétres x, [î de 

 ces lignes, l'équation (2) devient une équation de Laplace à invariants 

 égaux. 



M Si l'on multiplie par une même fonction les coefficients de l'équation 

 du plan tangent de façon à l'amener à la forme plus symétrique 



(3) ^X + r,Y + -CZ + T = o, 



on peut supposer que l'équation (2) ait pris la forme canonique 



et alors ^, r,, X,, -r sont quatre solutions de cette équation. 



» Supposons, réciproquement, que l'on prenne une équation telle 

 que (4); soient \, -ri, ^ trois solutions de cette équation. Les formules de 

 M. Leiieuvre permettront de délerimner par quadratures une (oncllon t„ 

 de «, (3 telle que la surface dont l'équation du plan tangent est 



(5) EX+r,Y + -CZ+To=o 



admette a, ^ comme paramètres de ses lignes asymptotiques. Cette surface F 

 ainsi déterminée sera la surface principale d'un certain problème de varia- 



