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sont pas tous nuls. Il peut arriver qu'entre (n + i) intégrales linéairement 

 distinctes, il existe une relation linéaire et homogène où les coefficients ne 

 dépendent que d'une seule des variables u, c. S'il en est ainsi, la suite de 

 Laplace relative à l'équation (i) se termine dans un sens après (n — j) trans- 

 formations au plus. 



» La proposition s'établit immédiatement lorsque n = i. Pour démon- 

 trer qu'elle est générale, il suffit de prouver que, si elle est vraie jusqu'à 

 une certaine valeur de n, elle est encore vraie pour la valeur immédiate- 

 ment supérieure. Admettons donc qu'elle est exacte tant que le nombre 

 des intégrales considérées ne dépasse pas n, et supposons qu'entre (« -\- i) 

 intégrales linéairement distinctes il existe une relation linéaire et homo- 

 gène dont les coefficients ne dépendent que de la variable c, par exemple. 

 Ces (n -f- i) intégrales satisfont, par conséquent, à une équation linéaire 

 d'ordre n, ne renfermant que les dérivées par rapport à u, 



\ / ^,,n dit" ' " OU 



dont les coefficients A,, . . . , A„ sont fonctions de u et de c 



» En différentiant l'équation (i) plusieurs fois de suite par rapport à «. 



, , , 1. ■ . d-o d'e d"+'0 



on peut exprmner toutes les dérivées -: — r-> , ., . > ■••, , „ , ■ au moven 



de 0, -y-;) y-) • • •> -— ; SI 1 on diiierentie de même 1 équation (2) par rap- 



port a {', et nu on remplace ensuite -:; — r-j , , , > • • -, r-, -^ — par leurs 



' 1 ' oiidi' du-av ùW'di' au" r 



valeurs, on aboutit à une nouvelle équation 



(3) B„ -p— -r -t-B, 3— — 5 +.. -l-B„_,e + C^ =0, 



\ " du"^' ' du"-- ' oc 



qui est vérifiée par toute intégrale commune aux équations (i) et (2). Si 

 C n'est pas nul, les équations (2) et (3) permettront d'exprimer -y-; et y^ 



au moyen de 0, -r-, ■■ -, -. ri toutes les dérivées successives pourront donc 



■^ du du"-^ ^ 



s'exprimer au nioven de celles-là et, par suite, l'intégrale générale des 

 équations simultanées (i) et (2) dépend de n constantes arbitraires, au 

 plus; comme elles sont linéaires, il ne peut donc y avoir plus de n inté- 

 grales communes linéairement distinctes. Il faut donc que C soit nul; si les 

 autres coefficients Bj, ..., B„_, ne sont pas tous nuls, on peut répéter le 

 même raisonnement sur l'équation (3) qui est d'ordre (n — i) au plus ; 



