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comme on suppose la loi vraie jusqu'à {n — 0, on en conclut que la suite 



de Laplace, relative à l'équation (i), se termine, dans un sens, après (n — 2) 



transformations au plus. Il ne reste donc à examiner que le cas où l'on a 



simultanément 



B„=B.=... = B„,, = C = o; 



ces conditions expriment que les équations (i) et (2) forment un de ces 

 systèmes que M. Sophus Lie propose d'appeler systèmes en involulion ou 

 systèmes de Darboux, et dont l'intégrale générale dépend d'une infinité de 

 constantes arbitraires. En appliquant à ce système une méthode générale 

 d'intégration, que je ne puis exposer ici, on trouve que l'intégrale géné- 

 rale a pour expression 



[«-!) 



0=c„V^c,V'4-... + c„_,V 



Cu,c, , . . . , c„_, étant des fonctions déterminées de u et de v, V une fonction 

 arbitraire de v et V, V", . . . , V'""" ses dérivées. Cela suffit pour prouver 

 que l'équation (i) est de rang /? au plus, comme on l'a énoncé. La propo- 

 sition réciproque est d'ailleurs facile à établir. 



On peut déduire de ce théorème général diverses conséquences. Sur 

 une surface S (différente d'un plan), considérons un réseau conjugué (u,v), 

 les courbes (^ = const. étant des courbes planes; les coordonnées homo- 

 gènes X, y, z, t d'un point de la surface S, exprimées en fonction des va- 

 riables {u,v'), satisfont à une équation de la forme (i). D'ailleurs, on a 

 entre ces coordonnées une relation 



A,r -I- Bj + C; -t- D/ = o, 



où A, B, C, D sont des fonctions de la seule variable v, par conséquent, la 

 suite de Laplace relative à l'équation (1) se terminera dans un sens après 

 deux transformations au plus. On voit de la même façon que, si les plans 

 des courbes précédentes vont passer par un point fixe, la suite de Laplace 

 doit se terminer après une seule transformation. 



» Considérons de même, sur un plan, deux familles de courbes quel- 

 conques (m) et (^v); les coordonnées homogènes Çv, y, z) d'un point du 

 plan, exprimées au moyen des variables u et c, satisfont à une équation 

 de la forme (i). Si les courbes (c), par exemple, se réduisent à des lignes 

 droites, la suite de Laplace relative à l'équation (i) se terminera d'un 

 côté après une seule transformation. Comme cas particulier, on en déduit 

 que la suite de Laplace relative à l'équation linéaire, dont dépend le pro- 



