( 172 ) 

 blèrae de la déformation infiniment petite d'une surface réglée quelconque, 

 est terminée dans les deux sens. 



)) La proposition énoncée plus haut peut encore être généralisée. S'il 

 existe entre n intégrales linéairement distinctes de l'équation (i) et la fonc- 

 tion c'^'"'" une relation linéaire et homogène où les coefficients ne dé|>en- 

 dent que de la variable v, la suite de Laplace relative à cette équation se 

 termine d'un côté après (« — i) transformations au plus. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur T addition des arguments dans les fractions 

 périodiques du second ordre. Note de M. G. Fo\tené, présentée par 

 M. Hermite. 



« 1. La démonstration de la formule d'addition de la fonction jd (a;) par 

 les fonctions c met sur la voie de la formule d'addition pour une fonction 

 elliptique du second ordre à pôles simples /jet^r, soity"(a-) ; nous emploierons 

 d'ailleurs la fonction II de Jacobi, et nous écrirons, d'après M. Hermite, 



(.) ^^4=:^=D..logF(.-). F(-)=îl{^^- 



» Si l'on observe que l'on a 



f{p -.x)= /(tt + x), f{r. - x) = f{p + x), 



soit parce que la somme des deux arguments est égale à la somme des 

 pôles, soit en vertu de la formule (i), on est conduit à écrire l'identité 

 suivante 



I ii(a;^ y -r.)ti(x^- y- p)li{p- T. -jy 



les deux membres sont, en effet, d'après les relations ci-dessus, des fonc- 

 tions elliptiques de la variable x ayant les mêmes zéros, savoir x = p — y 

 et X =: t: -i- y, les mêmes pôles, savoir x = 7: — y et x = p -^- y, et la 

 même valeur i pour x = p. En prenant les dérivées logarithmiques, d'une 

 part par rapport à x, d'autre part par rapport à y, on a 



(w n i,.^ /('^) — /(p-r) _ /(^ + .r)-/(-a? — y) 

 ^^^ ^-'^'^ /(-)-/(- -7)- R ' 



//,N n u-^ f^^)- f^P-y) - /(■^ + j)+/(-^--.y)-/(/'-j)-/(^-/) . 



