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 l'addition de ces deux formules donne 



( ^f{^+y)=f{p-y)^f{--y) 



l \ X )J a f(^j;)—f{-!Z—y)' 



telle est la formule que nous nous étions proposé d'établir. Si l'on veut 

 mettre un seul pôle en évidence, on remplacera y(TC —j) pary(j9+j'). 

 » 2. La formule (4) se simplifie, et par suite la formule (5) se simplifie 

 aussi, lorsque l'on a 



c'est ce qui arrive pour les trois fonctions sn, en, dn; en effet, 2aj étant la 

 période de sn qui est une demi-période pour en et dn, de sorte que to est un 

 pôle commun aux trois fonctions, on a 



sn(co+j')= sn(7-co) = - sn(o>-7), 

 cn(w + j') ^ — cn(j' — co) = — cn((i) — y), 

 dn(w -\- y) '-^ — dn(j' — oj)^ — dn(co — y). 



» On a donc, en désignant ici pary l'une quelconque des trois fonctions 

 sn, en, dn, et en faisant/» = eu dans la formule (5) écrite avec un seul pôle, 

 la formule unique 



(6) V(-g + 7) = R(».+ Dv)Io8 {!''"!"{■!'" ~-^î ; 



\ y J\ J/ \ -c yj ^ j (^x ) -\- J i^M ~ y)' 



selon qu'il s'agira de sn, ou de en, ou de dn, on remplacera y(co — /) par 



— I Jdn(v) /en (y) 



-; — - — -, OU par -, — )^, ou par — -^• 

 /.sn(7) ' />sn(j) r in{y) 



)) 3. Pour la fonction p (a;), on a 



(!') /?(a;) = -D;loga(a-); 



on écrit l'identité 



\^ ) P\^) PU)- Hn^)xUHj) ' 



on en conclut d'abord 



(D,+ D,)log[p(aO-/>(7)j 



= 2D,logH(a;+j)-2D,logH(^)-;iD^logH(j), 

 et ensuite 



{^^^^yY\o%\_p{x)- p{y)\^- [^p{x + y)+ ip{x)-\- ip{y); 



on obtient ainsi la formule d'addition de la fonction p{x') sous la forme 

 suivante, due à M. Hermile, quia fait un emploi systématique des dérivées 



