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 logarithmiques relativement aux fonctions elliptiques 



(5') M^T +y) = p(x)-i-p(j)- ^^(D^-i-B,yiog[p(œ)- p(y)]; 



on obtient la formule ordinaire en remplaçant, clans la formule (5) déve- 

 ioppée,/'(.r) - p"(y) par 6[p'(a;) - p'(y)]. 



» Si l'on voulait rattacher la fonction yj(a^) à la fonction /(x), dont les 



pôles sont distincts, on prendrait R = __ , et en faisant tendre yj et -, 



fonctions d'un même paramètre, vers la limite commune zéro, on verrait 

 que la fonction p (a?) est la limite vers laquelle tend la fonction f(cc) — C; 

 la formule (/)) donnerait alors, pour la fonction/?, une formule en 

 — D^(D^+ D^), qui, ajoutée à celle que l'on obtient en échangeant aetj, 

 donne la formule (5'). 



» 4. Les formules (3), (4), (5) s'obtiennent encore comme il suit. 

 Liouville a démontré que toute fonction elliptique F (a;) s'exprime ration- 

 nellement au moyen d'une fonction elliptique du second ordre aux mêmes 

 périodes, soit f{x), et de sa dérivée /'(^); M. H. Laurent a donné, dans 

 les Nouvelles Annales de Mathématiques, 1878, p. Sgg, l'expression explicite 



de F(ir ), en mtegrant les deux tonctions -^.-'r — •'., ' et —f— ^ — •'-/ / le 



long d'un parallélogramme des périodes, conformément à la méthode de 

 M. Hermite, mais on peut améliorer ses formules; si l'on imite, en effet, 

 le mode de calcul employé par M. Hermite, dans la Note ajoutée au Cours 

 de Calcul différentiel et intégral de J.-A. Serret, 4° édition, p. 876, pour 

 obtenir les résidus du produit F(z)x D^logH(^' — z), on arrive à ceci : 

 a étant un pôle de F (a-), a, son degré de multiplicité, on peut poser, sans 

 tenir compte de la partie entière en £, 



et les formules de M. Laurent peuvent s'écrire, en désignant par s la somme 

 des pôles yo et tï de la fonction f{x), 



a-i 



[3] ^\cc-)-¥{s-œ)=^^U^Y)Jo^{f{x)-f{a)-\+. ., 







a I 



[4]F(a.)4-F(.-aO-F(;,)-F(.) = -2^Driog[/(a.)-/(a)]+-..., 







a-i 



[5] 2F(^) = F(/,) + F(7.)4-2^DUD.-DJlog[/(^)-/(a)]^-..., 







la somme indiquée par + . . . étant relative aux pôles principaux. 



I 



