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dwisible par p„,, si le produit correspondant V) v^ est négatif, et non divisible par 

 p,„, si ce produit est positif ou = o. 



)) Pour démontrer ce théorème, rappelons-nous la formule connue 



P = (x., 4- iy'(:u Hh /)"'• • •(•"-« + ''Y-il - iy 



-_ /l.r.arcUn? i-.raarctang (-...-4- .i-„arctanR k~ ) 



où M est le produit des modules du premier membre et i l'unité imagi- 

 naire. 



» On voit, par cette formule, que la condition nécessaire et suffisanle 



pour que l'équation (i) soit satisfaite aux multiples de - près est que le 



produit an premier membre soit réel ou purement imaginaire. Appliquons 

 ici la théorie des nombres entiers complexes donnée par Gauss. Posons d'a- 

 bord 



y.^ + i=(j -if,(a,-^ib,), 



/-), -hi=(j — if->.(ay + /7;,,) 



■/.„ + i=(i — if«(a„-^ ib„ ) , 



\ étant =: o, si r H- /., est impair, et = i si i -|- •/.) est pair, i -f- xi n'étant 

 pas divisible par /), ay-hibi n'est pas divisible par î±i et le diviseur 

 commun à •/.),-!- « et y-x — i, dont le module esl le plus grand possible, étant 

 2?', les nombres «> , + '^^x ^t ^). — ifh sont premiers entre eux. De plus, au- 

 cune puissance (a-^-h ib-^Y ne contient de diviseur premier réel > i, parce 

 que ce diviseur serait commun à a^ -h ibi et a-) — ibi qui sont premiers 

 entre eux. 



» En substituant ces valeurs on aura 



P = ( r - if (a, -h ib, y. ...(a^+ ib^y-, ...(«„ -H ib„ y., 



s = £r , (5, H- ^,> (^a -f- . . . -I- .r„ \ -f- k. 



» P étant réel ou purement 'imaginaire etax+'^x n'étant pas divisible 

 par I ± ?, iljaut, d'abord, que % soit pair. De plus, il faut que tous les 

 nombres premiers complexes qui divisent P soient conjugués deux à 

 deux. Soient/j,,p^, .. .,/^,„ Ps tous les nombres premiers réels qui di- 

 visent {a\ + b\), .. ., («X + ^x)' • • •' {^'n +^«)- Comme on lésait, chacun 

 de ces nombres p„ est un produit de 2 nombres premiers complexes, 

 et conjugués, p^^ = (w,„ + if',n)(iim — "'m)i et aura la forme 4« + i- 



» Par conséquent, les seuls nombres premiers complexes autres que 

 I ±: î'qui divisent P sont m, ± iv,, . . . , «x— '«'x- • • • ' "s— "'i» • • • • Mettons 



