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engendrent le groupe G. J'imagine une opération unique a, et je définis a' 

 par l'égalité 



avec les conventions («')■'' = (0-'')' = rt^^'. De celle façon, toutes les opéra- 

 tions du groupe G seront représentées par les puissances réelles ou imaginaires 

 de a. 



» Voici une application immédiate. Soitè une autre opération d'ordre q, 

 n'appartenant pas au groupe G. Supposons q premier, inférieur à p. Dans 

 un groupe d'ordre p'^q, il y a toujours un sous-groupe distingué d'ordre yo''. 

 Supposons que ce sous-groupe soit G. Si nous supposons que l'imaginairey 

 appartient à l'exposanty [mod. p,f(x)] on peut imaginer un isomorphisme 

 du groupe G en lui-même, défini par la formule 



a'b''=h''a'J', 



où i,j sont pris suivant les modules p,/(x), et v suivant le module q. 

 » Le groupe G^cj^ ainsi obtenu sera défini par les équations 



(^a'Y=^ I (y étant pris suivant les modules p, /(a:), 

 (^P yi ^ I {\ étant pris suivant le module g»), 

 et 



ab = ba\ 



î étant l'un quelconque des nombres imaginaires de Galois appartenant à 

 l'exposant q [mod./?,/(a;)]. 



» Un autre exemple nous est fourni par un groupe spécial à l'ordre 56, 

 défini par les équations 



a-^6- = c-=i, ab^^ha, ac^^ca, hc=^cb, d' = i , 



et 



d = (rt, b, c, ab, bc, abc, ac) . . . 



(ce qui veut dire que d transforme a en b, b en c, etc., ac en a). 



» Prenons pour congruence fondamentale a;^ — ^ — i == o (mod. 3), 

 X étant l'une des racines de la congruence fondamentale. Posons x"'= a, 

 x^ = b, x''= c; alors l'équation 



d = («, b, c, ab, bc, abc, ac) 



sera remplacée par la suivante : 



a.d = dx^. 



