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» On voit aisément que x, et x^ doivent être premiers entre eux et que 

 les conclusions prennent la forme 



I -+- x= = z^.A''s i + y.': = z^' A'< et >t, -(-;t2 (^'visible par A. 



» J'ai démontré [Solution complète en nombres entiers m, n, x, y, k de 



V équation m arctang - -^ n arc tan g - — k- {Comptes rendus de la Société 



des Sciences de Christiania) que les seules solutions dans ce cas sont celles déjà 

 trouvées^ 



arctang- -i-arctang^ = "(Euler), aarctang^ + ai'ctang- = 7 (Véga) 



et 



2 arctang- — arctang^ = 7 ( ? l. 4'""'ctangj — arctang^ = 7 (Machin). 



» Si n ^= d, on a 



X, arc lang 1- x.^ arc taiig - -+- x^ arc tang - = k j, 



y., y.2 y-3 4 



dont les conditions nécessaires et suffisantes prennent la forme 



I -1- •/.; = 2.^t(A.''lVYlp^llq^' nr"'")p3 et z., -+- /... divisible par AllqUr et premier à BCUp, 



i-+.y.l = ^^--iAfCrnpmq^'ïii^")?., •/.,-)-•/., » Bn/;n/- « kCîiq. 



i-H/^ = 2^(B''C*n/i''n7'''nr'")p, /.,+ ■'-:, - Cllpllq » ABnr, 



où iC, = p, poû!, CC2 = p,Ojh , x.f = f.,fiC ne sont pas tous divisibles par le 

 même diviseur, p, étant le plus grand diviseur commun à x, et x^, p., à x, 

 et x^, . . . , (5, . 1)2 et ^3 sont = o ou = 1 de manière que 



X, S, -+- x.,^., -+- .1-3 (5, 4- k 



soit pair. A, B et C sont des nombres entiers premiers entre eux et non 

 divisibles par les nombres premiers p, q et r. Enfin X,p.,v, >.',y.',v', >",[/.", v" 

 sont des nombres entiers et positifs liés par les relations 



rtX -H- è[x. = cv, al' 4- cv'= 6[x', b [i." ■+- c-*" — al" . 



» Quant aux nombres p, J'ai démontré qu'ils sont tous les trois =; i ou 

 l'un égal à une puissance de 1, les deux autres = 1. » 



