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 où l'on a posé 



dX = ai) r/a, f/Y = a, 'i r/a, cVL ^ a./j d-j., dm ^ a./j dx; 

 dX, = b<l>,d?j, do, = b,'\>,d?>. 



(5) 



<J/(a) et ^j'idî) désignant des fonctions complètement arbitraires. On re- 

 trouvera des surfaces à lignes de courbure sphériques dans un système en 

 prenant soit i|/ := o, soit ^, = o. On peut montrer que la détermination des 

 réseaux (T) revient à la détermination de certaines catégories de surfaces à 

 lignes de courbure planes dans un système, mais il serait trop long d'ex- 

 poser cette recherche ici. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une généralisadon de. la formule de l'aire 

 du triangle sphérique. Note de M. X. Stocff, présentée par M. Darboux. 



« La géométrie sphérique de Riemann dans un espace à n dimensions 

 équivaut, comme on sait, à la géomélrie surunehypersphère à n-i- i dimen- 

 sions. La contenance d'un espace sphérique de Riemann à «dimensions est 

 donc finie; nous la désignerons par T. Le polyèdre le plus simple T„ de 

 celte géométrie admet « -+- i multiplicités limites n — i fois infinies M„_,. 

 Si l'on considère les sommets de ce polyèdre, et ses multiplicités limites 



une, deux, trois, quatre, ... dimensions, les M„_, qui passent par ces 

 multiplicités limites respectives, prolongées, déterminent dans l'espace de 

 Riemann des régions dont nous désignerons les contenances respectives 

 par D'„, D{, Dt, Dt 



» En essayant de généraliser la formule de l'aire du triangle sphérique, 

 ou trouve deux cas à distinguer : 



)) i" L'espace considéré a un nombre impair de dimensions : soit 

 /i + I = 2>.. Aucune combinaison ne permet de trouver la contenance 

 de T„ comme dans la Géométrie élémentaire. Il existe d'ailleurs entre 



les D,„, m variant de o à \, un nombre de relations égal à \;' ; l'une de 



2( a!)- 



ces relations est 



(X4_,)(X_,) 



r -2 1^- - ^^ S D._, + i^i±^i\iiii^ 2 1^- 



(À + i)(X+.a)(X-3) 

 3! 



» 2° L'espace considéré à un nombre pair de dimensions. Aucune relu- 



^D._. + ..-K-,)'- ''-"-"\t:';,V">- -^;SP- 



