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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations aux dérivées 

 partielles linéaires et du second ordre à caractéristiques imaginaires. Note 

 de M. Le Roy, présentée par M. Poincaré. 



« I. Soient a, b, c trois fonctions continues données. Considérons 

 l'équation 



(i) AU-H-«j h l» T |-c-U = o. 



» Je me propose de construire une intégrale de l'équation (i), continue 

 dans une aire (D) limitée par un contour fermé (C) et prenant sur (C) 

 des valeurs données <I>. Je supposerai que ad b sont les dérivées partielles 

 d'une même fonction [j.. Je n'emploierai que des méthodes susceptibles de 

 s'appliquer encore si le problème d'intégration est posé dans l'espace. Si la 

 fonction c est toujours négative ou nulle, le problème ne comporte qu'une 

 solution ; je me placerai dans ce cas. 



» IL Posons 



_\± 

 adx -h b dy = du., U = <? - V. 



On a 



(2) AV = .V, ç=-(-^- + ^^-)h-^-+c-. 



Soit G la fonction de Green. Posons 



^ r G d.r dy < g, 1 o I < "•. ''-^g < ' - V = ^>-' V\ : 



d'où 



AV„=.o. v;:'' = 'i', AV, = ov,_,, v;.'' = o. 



» M. Picard a montré que la fonction V existe, est continue, prend sur 

 (C) les valeurs <I> et vérifie l'équation 



AV = lo V. 



» Si la constante 1 a une valeur quelconque, le problème posé est ainsi 

 résolu pour tout domaine (D) assez petit. 



» lit. Si (D) a des dimensions quelconques, le problème est résolu pour 



X< — . 



