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 passer du cas où X = o au cas où \ a une valeur positive quelconque. La 

 seule modification consiste à prendre pour nombre g le maximum de la 

 fonction G vérifiant les relations 



» VI. L'hypothèse 



a dx -h b dy = dy. 



ne joue qu'un rôle accessoire dans les raisonnements précédents. J'ai 

 réussi à m'en passer : les résultats indiqués dans la présente Note sont 

 donc vrais pour l'équation linéaire générale. Enfin je montrerai ultérieu- 

 rement que les mêmes méthodes permettent l'intégration de plusieurs 

 équations non linéaires d'un type très général. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le théorème de Taylor avec l' approximation 

 du troisième degré. Note de M. N. Bougaief, présentée par M. Dar- 

 boux. 



« En désignant par a., et w, les valeurs de la première approximation el 

 de la première erreur de la racine de l'équation 



(i) /(=^) = ". 



nous avons la relation suivante 



2/(a.)/'(^.) 



2/'H='.)-/('l )/"(«.) 



3/"(o.,)-a/'(a,)/"(a. + 6a,.) ., /"(».)/"(«. + 8^0. ) <A 



3[2/'^(a,)-/(«,)/"(«.)] '"'a/'H»,) -/(«,)/"(«,) 12 



(X := X, — 



(2) 



» Désignons par '[•(a) la fonction inverse de la fonction \{ol). En appli- 

 quant la formule (2) à l'équation 



(3) /^{v.) — x + h, 

 nous avons la relation suivante : 



(4) a = Ko: + A) = a. - ,,.,^^,^^°''lr ^".î '!^'^'î°"i Ml + ^- 



^ ^^ ' 2{,'''(a,) — 4,"(ai)[^(ai) — (x + A)] 



» Si nous posons que a, et to, dans la relation (4) sont exprimées par les 



