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 que i/j seulement sont distincts et qu'en outre chacun d'eux contient un 

 sous-gj-oupe commutaùf cl ordre 8. 



» Je communiquai ce résultat à M. Holder qui démontra alors le théo- 

 rème suivant, en s'appuyant sur les résultats établis dans son article ( ' ) sur 

 les groupes d'ordre/?', pq^ ,pqr, p'' . 



» Théorème. — Tout groupe d'ordre p* (/j étant un nombre premier quel- 

 conque) contient un sous-groupe commutatif d'ordre p^ . 



)) Si nous combinons ce théorème avec le théorème de Frobenius (-), 

 nous voyons que tout groupe dont l'ordre est/?* (p étant un nombre pre- 

 mier quelconque et a un entier positif quelconque) contient un sous- 

 groupe commutatif d'ordre p'^ . 



» B. Le problème de la recherche de tous les groupes dont l'ordre est 

 le produit de 3 nombres premiers a été résolu par MM. Cole et Glover(') 

 et par M. Holder (^). En comparant les résultats obtenus par M. Leva- 

 vasseur ( = ) avec les publications plus anciennes de MM. Cole, Glover et 

 Holder, il est facile de voir que l'énumération de M. Levavasseur doit être 

 complétée. 



» C. Dans les Comptes rendus du i-j janvier 1896, M. Levavasseur s'ex- 

 prime ainsi : « J'ai déjà trouvé plus de 73 groupes distincts (d'ordre 32), 

 et je n'ai pas encore terminé l'énumération. 



» J'ai examiné tous les groupes possibles de cet ordre et j'ai trouvé que 

 5r seulement sont distincts, 7 sont commutatifs, 37 autres contiennent un 

 sous-groupe commutatif d'ordre 16 et les 7 derniers ne contiennent aucun 

 sous-groupe commutatif d'ordre supérieur à 8. 



M Le Tableau suivant donne le nombre des groupes réguliers pour tous 

 les ordres jusqu'à 36 C) : 



Ordre 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 i3 i4 i5 



Nombre de groupes . . 1 i 2 i 2 i 5 2 2 1 ô 1 2 i 



Ordre 16 \- 18 19 20 21 22 23 24 aS 26 27 28 



Nombre de groupes . . 14 i ï i 5 2 2 i i5 2 2 5 4 



Ordre 29 3o 3 1 32 33 34 35 



Nombre de groupes . . i 4 1 5i 1 2 1 



(') Mathematische Annalen. t. XLIII, p. 409-412. 



(2) C relie, t. 101, p. 283. 



(3) American Journal, t. W, p. 191; Cf. Mathematische Annalen. t. XLVI, 



p. 322. 



(') Mathematische Annalen, t. XLIII, p. 3oi. 



C) Comptes rendus, t. CXX. p. 822. 



( = ) Voir aussi : Cavi.ey, l'hilosophical Magazine, t. VII, p.4o-4o8; Ibid., t. XVIII 



