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» Une intégrale de l'équation (i), supposée continue à l'intérieur d'un 

 contour, est déterminée par ses valeurs sur ce contour, si celui-ci entoure 

 une aire suffisamment petite. La méthode que j'ai donnée s'applique en 

 réalité à trois comme à deux dimensions; il est vrai que, dans une partie 

 du raisonnement, je me suis servi d'une représentation conforme, mais 

 j'évitais seulement ainsi une discussion minutieuse, et l'on peut procéder 

 directement comme l'a fait M. Zaremba dans une Communication récente 

 à la Société mathématique. Le problème ne présente donc, avec la mé- 

 thode d'approximations successives dont je me sers, aucune difficulté 

 quand il s'agit d'un contour (simple ou non) enveloppant une aire suffi- 

 samment petite. 



•n Considérons maintenant le cas particulièrement intéressant, où le 

 point (a7, jk) reste dans une région du plan oij l'on a partout 



/<o. 



» Une intégrale continue est alors toujours déterminée par ses valeurs 

 le long de tout contour fermé. Pour faire la recherche d'une telle inté- 

 grale, j'ai montré (^Journal de l'École Polytechnique, 1890) que le procédé 

 alterné employé par M. Sch\Yarz pour l'équation de Laplace était encore 

 applicable à l'équation (i), et c'est ainsi que l'on peut passer d'un con- 

 tour assez petit à un contour quelconque. M. Le Roy a très justement 

 pensé que l'extension à l'espace de cette partie de la solution présente- 

 rait bien des difficultés; il faudrait, en effet, faire auparavant une étude 

 du procédé alterné pour l'espace, étude qui paraît n'avoir jamais été faite. 

 Aussi M. Le Roy propose-t-il une nouvelle méthode très ingénieuse, et il 

 s'inspire aussi dans ces recherches de la méthode dite du balayage, em- 

 ployée par M. Poincaré pour l'équation de Laplace. 



» Je voudrais montrer que, sans aucun principe nouveau, on peut lever 

 la difficulté qui s'oppose au passage de deux à trois variables. Il suffît de 

 se servir, au lieu du procédé alterné, d'une autre méthode de même na- 

 ture employée par M. Schwarz pour démontrer les théorèmes fondamen- 

 taux de la théorie des fonctions sur une surface de Riemann fermée. Je 

 commence par énoncer un lemme préliminaire. 



» Considérons toujours l'équation (i) dans une région oi\f<^ o, et soit 

 un contour C (simple ou non) limitant une certaine aire. Désignons par v 

 une intégrale continue prenant sur C des valeurs comprises entre — M et 

 + M ; si A désigne un point de l'intérieur de l'aire, on peut fixer un nombre 



