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 q, compris entre zéro et un, et ne dépendant pas de M, tel que l'on ail 



M Ce lemme suppose essentiellement que/ est négatif dans l'aire consi- 

 dérée ; il ne serait pas vrai pour l'équation de Laplace. 



» Ceci posé, soit un contour r pour lequel nous sachions résoudre le 

 problème; je veux montrer qu'on pourra le résoudre pour un contour C 

 enveloppant T, si C est suffisamment rapproché de T; donnons-nous donc 

 des valeurs sur C. Nous tracerons d'abord à l'intérieur de I une courbe 

 fermée y qui en soit très rapprochée; nous pouvons alors supposer que 

 l'on sait résoudre Je problème proposé pour l'aire suffisamment petite 

 comprise entre y et C. Fixons alors sur r une succession de valeurs arbi- 

 traires; nous formerons une fonction u^ continue dans r et prenant ces 

 valeurs sur r. Cette fonction prendra certaines valeurs sur y. On formera 

 une fonction t-, , continue entre y et C, prenant les mêmes valeurs que w, 

 sur y et prenant sur C les valeurs données. Considérons ensuite la fonc- 

 tion u., prenant sur r les mêmes valeurs que c, et continue dans r, et con- 

 tinuons ainsi indéfiniment. Nous obtenons deux suites de fonctions : 



et l'on a 



tous les II sont continus dans r, les c sont continus entre y et C et prennent 

 tous sur cette dernière courbe les valeurs données. 



» Le lemme énoncé plus haut permet aisément d'établir que «„ et v„ 

 ont des limites m et t^; on a 



tt = V 



dans l'intervalle compris entre r et y, et, à l'aide de ces deux fonctions, le 

 problème est résolu. Pour établir l'existence de la limite, désignons par q 

 le plus grand nombre (inférieur à un) correspondant au lemme, d'une 

 part, pour tous les points de y considérée comme courbe intérieure à l'aire 

 limitée par r, et, d'autre part, pour tous les points de Y considérée comme 

 courbe intérieure à l'aire limitée par y et C. On démontre alors très faci- 



