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 La fonction F est périodique par rapport aux jy,; elle dépend des jj, d'une 

 manière quelconque. De plus, certains de ses termes sont très petits par 

 rapport aux autres, et nous pouvons mettre en évidence l'ordre de gran- 

 deur de ces différents termes en introduisant une quantité très petite [/. et 

 en développant F suivant les puissances de [j. sous la forme 



rr^F„+;7.F,+ j7.^F, + ...; 



Fo ne dépend pas de j,-. 



» On trouve alors qu'on peut satisfaire formellement aux équations (i) 

 par des séries de la forme 



( Yi = Wi + rj. y . ■+- y/ y- + . . . 

 où les a;* et les jf sont des fonctions périodiques des quantités 



les cT, sont des constantes d'intégration; les /z, sont des constantes (dites 

 moyens mom^ements) qui sont développables en séries ordonnées suivant 

 les puissances de [j.. 



» Les x] ou jf sont eux-mêmes développables en séries de la forme 



(3 ) œ'i (ou jf) = 2A cos(/n,(y, + m.,w.;^-\- . . . + m^w,^ -\- h). 



On peut alors se demander : 



» 1° Si les séries (3) convergent; 



» 2° Si [en admettant que les séries (3) convergent et que, par consé- 

 quent, on puisse former les séries (2)] les séries (2) convergent. 



» Pour simplifier l'exposition de cette discussion, je supposerai deux 

 arguments seulement tv, et w., et deux movens mouvements /î, et n^. Com- 

 mençons par l'étude des séries (3). 



)) Si le rapport des moyens mouvements est commensurable, un des 

 termes de la série devient infini; laissons de côté ce cas. 



M J'ai montré (p. 96, 97) que les valeurs incommensurables du rapport 

 des moyens mouvements peuvent se répartir en deux catégories : celles 

 pour lesquelles la série converge, celles pour lesquelles la série diverge, 

 et que dans tout intervalle, si petit qu'il soit, il y a des valeurs de la pre- 

 mière catégorie et des valeurs de la deuxième. 



» J'ai démontré, en particulier, que la série converge pour les valeurs 

 incommensurables dont le carré est commensurable. 



