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ALGÈBRE. — Sur les groupes d'opérations. Note de M. Levavasseur, 



présentée par M. Picard. 



« (A). [1 est [iiu'faitement exact, ainsi que l'a fait remarquer M. iMiller 

 dans une Note récente, que le nombre des groupes distincts d'ordre i6 

 est i4, t't que l'énumération que j'iii faite des groupes d'ordre pqr est 

 incomplète. Pour les groupes d'ordre 32, je réserve ma réponse. Je 

 voudrais énumérer ici les groupes d'ordre Sp, p étant un nombre premier 

 impair. 



. » Dans le Tableau ci-dessous, 9 et & désignent des opérations échan- 

 geables à toutes les opérations du groupe. Je donne simplement les équa- 

 tions de définition de chaque groupe. 



G;^, (a- ^ &, S ■':=-- I , bP = i, ba = ah''), 



G'^, [a* =: 2r, &- = I , b'' =: \ , ba^ab^, v. appartient à l'exposant '\ 



(mod py\ (n'existe pas pour/>:= 3; 4 doit diviser p — i), 

 G^^, [a^ = i, bP = ï, ba=^ab'^, cf. appartient à l'exposant 8 imod /;)J 



(n'existe pas pour/; = 3; 8 doit diviser yo — i), 

 ^Ip =G^G2G^. 



» J'exprime ainsi que ce groupe est le produit direct des trois groupes 

 G4, Go, Gp, groupes cycliques d'ordre 4, 2 et /; respectivement. J'atlribue 

 à l'expression produit direct le sens que lui donne M. Holder (^Mathema- 

 lische Annalen, t. XLIII). 



G^^, — G\^,(j.-. ; G^^, yaP = i , b' = i , ab = ba'^, y. appartient à l'exposant 2 



(mod/))J, 

 G^p = G\pG.,; G''^^ {a'' = 1, />* = i, aè = bu'^, y. appartient à l'exposant 4 



(mod/j)] (n'existe pas pour o=3; 4 doit diviser 



/? — i), 

 Gjp=: G',^G4 {G'ip est le groupe non cyclique d'ordre 2/?), 

 G\p [fl''=r, b-^ï, ab = ba, c^i= r, ca^^ac'^, cb^bc~', « appartient 

 à l'exposant 4 (^o^/^)] (n'existe pas pour p^=3;l[ doit diviser 

 />-t), 

 Gll^GlGp-, Gl{_u- = (i, b- = fi, ab^baO, b'=i), 



