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the ihree brodies, if the déformation of the triangle formed by thèse bodies is such 

 that we cannot find any two sides, one of which sustains to the other an invariable 

 relation of greater or less, we cannot apply the mentioned séries (Tel serait, par 

 exemple, le cas d'une comète troublée par Jupiter, si la distance aphélie est supérieure 

 à celle de Jupiter et la distance périhélie inférieure à celle de la planète). 



» Ainsi, dans la pensée de M. Hill, les séries convergeraient pourvu 

 que les variables satisfassent à certaines inégalités, et mon argumentation 

 prouverait seulement qu'elles ne peuvent pas converger pour toutes les 

 valeurs des variables sans aucune exception. Il est aisé de voir, au con- 

 traire, que l'argument conserve sa valeur et permet d'établir que ces séries 

 ne peuvent pas converger dans toute l'étendue d'un domaine quelconque, 

 pourvu qu'il y ait, dans ce domaine, une solution périodique ; or, il y a des 

 solutions périodiques dans tous les domaines, si petits qu'ils soient (au 

 moins pour les valeurs très petites des masses et des excentricités). Si 

 donc les séries convergent, ce ne peut être que pour certaines valeurs 

 discrètes des variables et non pour toutes les valeurs comprises entre cer- 

 taines limites, quelque resserrées que soient ces limites. 



» In the third place, continue M. Hill, an appeal is made to the alleged non exis- 

 tence of analytic and uniform intégrais beyond those already known. » (M. Hill expose 

 ensuite que deux hypothèses sont possibles) « Now in case we are obliged to accept 

 the first conclusion, were it only but once, M. Poincaré has demonstrated the non- 

 existence of intégrais ; but, granting that it is proper in every case to accept the latter 

 conclusion, the démonstration fails. Now he déclines to cousider the latter alterna- 

 tive, saying that he does not believe that any problem of Dynamics, presenting itself 

 naturally, occurs where the right members of the mentioned équations would ail 

 ranish. 



» J'ai dit, en effet {Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, 



p. 245) : 



» Ces considérations ne présentent pas, d'ailleurs, d'intérêt pratique et je ne les ai 

 présentées ici que pour être complet et rigoureux. On peut évidemment construire 

 artificiellement des problèmes où ces diverses circonstances se rencontreront ; mais, 

 dans les problèmes de Dynamique qui se posent naturellement, il arrivera toujours, ou 

 bien que toutes les classes seront singulières, ou bien qu'elles seront toutes ordinaires, 

 à l'exception d'un nombre fini d'entre elles. 



» La question demeure donc réservée en ce qui concerne un problème 

 de Dynamique quelconque, mais, en ce qui concerne le problème des trois 

 corps en particulier, j'ai démontré, dans le Chap. VI, n°* 102 et 103, que 

 toutes les classes sont ordinaires. 



» La seconde alternative se trouve donc écartée. 



