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» Une remarque bien simple permet de faire disparaître les signes de 

 quadrature dans un nombre illimité de cas. 



» Supposons que la suite de Laplace, relative à l'équation (i), se termine 

 après un certain nombre d'opérations, de sorte que l'intégrale générale de 

 l'équation (i) contienne explicitement une fonction arbitraire de a, une 

 fonction arbitraire de |3, et leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé. Les 

 trois intégrales 6,, 0^, O3 contiennent chacune deux fonctions arbitraires, 

 et l'on peut mettre ces fonctions arbitraires sous une forme telle que 

 toutes les quadratures qui donnent x,y,z puissent être effectuées. On 

 aura donc ainsi, sous forme explicite, les coordonnées d'une infinité de 

 surfaces rapportées à leurs lignes asymptotiques. 



» Soient /,(«), 9,(P)' /^C^)» ?2(P), A(^)< ?3(P) les fonctions arbi- 

 traires qui figurent respectivement dans 6,, Ôj, 63. Considérons /, (a) et 

 <p,((î) comme données, et les quatre autres fonctions comme indétermi- 

 nées. La formule qui donne y, par exemple, peut s'écrire 



en réunissant, d'une part, les termes qui contiennent y^o (a), d'autre part, 

 les termes qui contiennent Oo(p); P et Q sont de la forme 



a/,(oc) + a,/Xa)+...-4-a„+,/^"^"(a), 



et P, et Q, de la forme 



a, . . ., dn+Ki b, ..., b,i_^, étant des fonctions déterminées de a. et de (3. Les 

 deux expressions V don -^. Qdfj, P,d(x, h Qid^ doivent être des différen- 

 tielles exactes pour toutes les formes possibles des fonctions /!>(«) et 

 (p2(fl). Or il résulte d'une proposition générale, démontrée par M. Dar- 

 boux (Théorie des surfaces, t. Il, n° 393), qu'on peut toujours, par des 



opérations purement algébriques, mettre l'intégrale / Pdcn-hQd^ sous 

 l'une ou l'autre des formes suivantes : 



F,(a)H-C.F;(a)+...+ C„,,Fr"(«), 

 C,F,(a)+...-HC„ F;^"' (a), 



F2(a) étant une fonction arbitraire de a qui peut être prise égale à f^ (a) 

 dans la seconde forme, et qui est définie, dans le cas de la première forme. 



