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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions uniformes définies par l inçer- 

 sion de différentielles totales. Note de M. Paul Painlevé, présentée par 

 M. Picard. 



« Je me propose, dans cette Note, d'étudier les fonctions uniformes a-, j 

 de deux variables u, r, définies par l'inversion de deux différentielles 



totales 



( P {x,r)dx 4- Q {x,y)dy = du, 



\ V^{x,y)dx + 0^{x,y)dy r=dv. 



(>) 



où P, P,, Q, Q, sont algébriques en x,y. On peut toujours introduire une 

 variable z liée h x, y par la relation algébrique 



(2) S{x,y,z) = o, 



telle que P, P,, Q, Q, s'expriment rationnellement en x,y, z et qu'inver- 

 sement, à un système de valeurs a;, j, P, P,, Q, Q,, ne corresponde qu'une 

 valeur de z. Dans ces conditions, ;; est une fonction uniforme de m, v en 

 même temps que x, y. Soit maintenant x^, Jo. -0 'es valeurs de x,y, z 

 pour i/ — o, c = o; l'intégrale générale de (i), supposée uniforme, 



(3) j j= i}-(m, t', j:„, ro,s„). 



' -• = z("' *'' >^o.7o. =0). 



définit une transformation biuniforme, à deux paramétres u, v, de la sur- 

 face S en elle-même. Deux cas généraux sont à distinguer, suivant que 

 cette transformation est, ou non, birationneUe. Dans les deux cas, le 

 nombre des périodes du couple d'intégrales abéliennes u = J Pdx -+- Qdy, 

 v=z fV^dx -h Q,dy, ne peut dépasser 4- 



» Premier cas. — La transformation (3) est birationneUe. -- Les fonctions 

 x(u, i>), y(u, i>) admettent alors un théorème d'addition : autrement dit, si 

 (a-,,j,), (^2. J2)» ('^3 J3) sont les valeurs de x, y correspondant aux 

 valeurs (u,, v,), («2, i'.), ("3, ^'3) de (u,^), x^ et j, s'expriment algé- 

 briquement en X,, y,, x.,, y... D'après une proposition fondamentale de 

 M. Weierstrass, x,y, z sont par suite des fonctions abéliennes de u, v ou 

 des dégénérescences. Mais la démonstration de l'illustre analyste n'a jamais 

 été ni enseignée, ni publiée. Dans le cas où le nombre des périodes est égal 

 à 4, la proposition a été établie en toute rigueur, et M. Picard a donné ex- 



