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pllcitement les conditions nécessaires et suffisantes pour que x, y, s soient 

 des fonctions abéliennes de u, v. Mais quand le nombre des périodes est 

 moindre que 4. des difficultés d'un tout autre ordre se présentent. Sur ce 

 point, la démonstration sommairement indiquée par M. Picard demande- 

 rait quelques compléments. Celle que je propose échappe à toute objection 

 et s'étend à un nombre quelconque de variables; elle consiste à établir 

 qu'il existe alors sur la surface S une famille de courbes unicursales. On 

 voit ensuite aisément que la surface S correspond birationnellemenl soit au 

 plan, soit au cylindre Y^ = 4^' — ^.X — ^3. Moyennant une transforma- 

 lion linéaire convenable effectuée sur {u, v), a-, j et s sont, dans la pre- 

 mière hypothèse, des fonctions rationnelles de u, v, ou de e", v, ou de e", e*"; 

 dans la seconde hypothèse, x,y, z sont des fonctions rationnelles àep(iï), 

 jy(i<) et V, où V désigne une des expressions 



V = .-C?:f^, V = e% Y = e^tl^p^ 



(C est une constante quelconque). On retrouve bien ainsi les dégénéres- 

 cences des fonctions abéliennes ( ' ). 



» Deuxième cas. — La transformation est biuniforme. — Supposons 

 d'abord qu'on puisse choisir les deux constantes d'intégration de façon 

 c\nune d'entre elles figure algébriquement dans x, y, z. En appliquant les 

 théorèmes généraux que j'ai établis sur les équations du second ordre, on 

 voit que x,y, z s'expriment algébriquement en fonction d'une des combi- 

 naisons suivantes : 



(1) u, 6" + '""', 



(2) U, p|^(; + -^logR(u) + ^logR.(M)+R,(«)] 



[les R désignant des fractions rationnelles et co, 0/ les périodes de p(w)]; 

 » 3°, 4" (se déduisent de 1°, 1° en changeant u en e"); 



» 6° p(u), p,(i> +y(«), avec 



(') Sous sa forme la plus générale, le ihéorème de M. Weierstrass s'énonce ainsi : 

 Si deux fonctions analytiques x{u, c), y{u, c) admettent un théorème d'addition, 

 elles s'expriment algébriquement à l'aide des fonctions abéliennes de u, r ou de 

 dégénérescences. Ce théorème est une conséquence immédiate de ce qui précède. 



C. R., 1696, 1" Semestre. (T. CXXII, N" 11.) o" 



