( 712 ) 



« Réciproquement, à chaque substitution telle que S, corres])onrl une 

 file. La file dont les cases sont toutes sur la diagonale principale du Ta- 

 bleau correspond à la substitution identique. 



» Deux cases a et h, rangées dans l'ordre a, h, sont dites consécutives si 

 la colonne où se trouve la case a et la ligne où se trouve la case b se croi- 

 sent sur la diagonale principale. La recherclie des cases consécutives d'une 

 file revient à la recherche des cycles de la substitution qui correspond à 

 la file. Soient s el t deux files répondant aux substitutions S et T. La file st, 

 qui correspond à la substitution ST, s'obtient comme il suit : soient a, b 

 deux cases consécutives, prises dans l'ordre a, b, a faisant partie de la 

 file s, b faisant partie de la file /. La case qui est dans la même ligne que a 

 et dans la même colonne que b fait partie de la file st. 



» (B) Désignons par G un groupe d'ordre n, dont les opérations sont 



» Supposons qu'on ait aia,^=^ «^ ^^y 



» Laissons i fixe et donnons à Â' les valeurs i. 2, ...,/2. A l'opération a, 

 je fais correspondre la substitution 



"'' \?,(0 ?,(2) ... 9,(«^ 



» Les substitutions .y, , .s. s „ forment un groupe régulier, d'ordre et de 



degrés égaux à n, holoédriquement isomorphe au groupe d'opérations G. 



» Convenons de dresser un Tableau carré par la règle suivante : 



» Si a,f7A = (t/, on placera la lettre a, dans la case qui occupe la colonne 

 de rang A et la ligne de rang /. 



» J'appelle Table de multiplication du groupe G le Tableau ainsi formé. 

 D'après (A), on a une règle simple pour trouver, à l'aide de ce Tableau, 

 le produit de deux opérations données du groupe G. 



» (C). Soit r un ensemble de m symboles >.,, >.2, . . • , ^,„ lels qu'on ait 

 défini l'addition ^X, -1- Ij et la multiplication l,Xy. Je suppose l'addition et la 

 multiplication associatives et commutatives. Je suppose que \,-f->^,, comme 

 'kj'kj, fassent partie de l'ensemble; j'admets, enfin, que O fait partie de 

 l'ensemble. 



» Je donnerai le nom de nombres aux symboles 'X, et le nom de signes aux 

 symboles a. Je conviens que le j)roduit d'un nombre et d'un signe est com- 

 mutatif. Je considère l'ensemble {E) des nombres complexes de la forme 



Cf. ^ y.,a, -+- 7.„a., + . . . + y.,, «.„, 



les coefficients a.,, x, a„ étant des nombres pris dans l'ensemble F. 



