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 de «,, ..., a„, définies par (i), ne peuvent admettre d'autres singularités 

 transcendantes que w, = ce, ..., «„ = ao. Il faut se garder de considérer cette 

 proposition comme évidente, car elle cesse d'être exacte quand les inté- 

 grales J ne sont plus de première espèce. 



» Ce lemme entraîne les conséquences suivantes : 



» I. Représentons chaque période simultanée w , n>„ de J, J„ 



par un point de l'espace à 2n dimensions Eo^, en posant w, = ;, + r/;,, .... 

 '^n=^n+''i«- Tout système de n intégrales ahéliennes de première espèce 

 I, (x), ..., I„ (ce) admet au moins in périodes j or mant dans V espace E,^ un 

 véritable parallélépipède à in dimensions . 



» II. Si les n intégrales (i), J, (a?,, ..., ■x,^), ..., J„(a;,, ..., x„) sont de 

 première espèce et admettent seulement i n périodes, les fonctions x^, ...,x„ de 

 u,, ..., M„, définies par{y), n'ont qu'un nombre fini de branches et se ramènent 

 algébriquement aux fonctions méromorphes in fois périodiques den variables. 



» III. Les /i intégrales J(^,, ..., a;„) étant de première espèce et n'admet- 

 tant que in périodes, si ce système renferme un système de j intégrales à ij 

 vériodes, il renferme nécessairement un système de i{n—j) intégrales (dis- 

 tinctes des J précédentes) à i(n —J) périodes. Les fonctions x , x^ de 



M,, ..., «„, définies par (i), se ramènent alors aux fonctions méromorphes 

 périodiques de ij et de 2 (n — J) variables. 



» Quand on applique cette dernière proposition aux systèmes abéliens : 



(i= i,2,...,n) J,=/P,(a7, ,y,)dx, +fPi(x.„y2)dxn-h...-hfl\(x^,yn)dx^, 



fPi(x,y)dx désignant une des n intégrales de première espèce attachées 

 à la courbe î{(x,y) =z o de genre n, on retombe sur le théorème bien con- 

 nu de M. Weierstrass, relatif à la réduction des fonctions abéliennes. Ce 

 théorème a été démontré (sous une forme d'ailleurs plus précise) par 

 M. Picard pour n =; 2 et par M. Poincaré pour n quelconque, à l'aide de 

 considérations arithmétiques où les relations entre les périodes jouent un 

 rôle fondamental. 



» Comme corollaires du théorème III, je citerai les deux suivants : 

 » 1° Toute fonction méromorphe m fois périodique de n variables 

 F(u,, ..-, u„) coïncide avec une fonction abélienne de m + n variables où on 

 annule m des variables. l\ suit de là que F (z/, , . . . , w„) est exprimable à l'aide 

 des fonctions ©(î^,, ..., m„). 



» 2" Les fonctions méromorphes in fois périodiques à n variables se ra- 

 mènent algébriquement aux fonctions ir, , . . . , J7„ de u, , • • • > "« définies par un 



