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 système 



( (i = I, 2, ...,/(), 



les intégrales fVi{x,y')dx désignant n intégrales de première espèce 

 distinctes attachées à la courbe H (a, y) = o. Si le genre de cette courbe 

 est égal à n, les fonctions sont des fonctions abéliennes proprement dites. 



» J'arrive maintenant à l'objet principal de cette Note : 



)) Les intégrales (^i) J ^ 1,^ étant quelconques, quelles sont les conditions 



nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale générale sc,(^u, a,,'), ..., 



x^{u,, ..., u,i) dépende algébriquement des constantes x", ..., x^ (valeurs ini- 

 tiales de X,, .... .x„ pour u, = o, ..., «„= o)? Les fonctions x,, . . ., x,^ de 

 u,, .... M„ n'ont alors qu'un nombre fini q de branches. 



» On peut dire encore : Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes 

 pour que les fonctions a-, , . . . , ij;„ cfe w,, . . ., m„, définies par (i), admettent 

 un théorème d'addition ? 



» Ces conditions s'énoncent ainsi : il faut et il suffit : i" que les inté- 

 grales J n'aient que ik périodes non polaires distinctes (^Sn) et l pé- 

 riodes polaires distinctes (l'Sn —k); 2° que (moyennant un changement linéaire 

 convenable effectué sur u^, . ..^u^ les k premières intégrales J soient de pre- 

 mière espèce et que les (n — k) dernières n'aient chacune qu'une période polaire 

 distincte au plus. 



» Ces systèmes renferment en particulier certains systèmes considérés 

 par M. Appell et par M. Goursat, et pour lesquels l'uniformité de l'inté- 

 grale résulte du théorème d'Abel. 



)' Etant donné un système (i^, on peut toujours reconnaître, à l'aide d'un 

 nombre fini d'opérations algébriques, si l'intégrale x, (u,, ..., ;/„), ..., 

 x^ («, , . . ., H„) n'a qu'un nombre do?;né q de branches et dépend algébrique- 

 ment des constantes. 



» Les fonctions x,, . . ., x,^ de u,, ..., ?/„ peuvent d'ailleurs n'admettre 

 qu'un nombrey?«j de déterminations et renfermer les constantes xi. . . ., j?", 

 sous forme transcendante. Nous établissons à ce sujet ce théorème : 



» Pour que l'intégrale x, (u,, .... h„), ..., x„ (m,, ..., a„) d'un sys- 

 tème (i) n'ait qu'un nombre fini de déterminations, ihsvtFit que, moyennant 

 un changement algébrique convenable effectué sur x^, ..., x^et une transfor- 

 mation linéaire effectuée sur u,, . . ., ?/„, le système (i) satisfasse aux conditions 

 suivantes : 



» i°.T,, . . . , J^ dépendent seulement de x,, .. . ^x;, (kSn), el l'intégrale 



