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 x^, . . ., .T/, du système formé par les k premières équations (i) dépend algé- 

 briquement des constantes x% . . . , xl. Quant à J^^, , . . . , J„, ils sont de la 

 forme 



Ja+I =^ ^ k+t \^l » • • • » '^/i) "1" Ja + i \'^k+i > • • • < '^njf • ■ ■ » 

 J„ = J„ (^a?, , . . . , X/() -+- J^^i^X/i^, . . • . . X„J, 



et les périodes de chaque intégrale J^^^ ou bien sont réductibles aux pé- 

 riodes de J^^^, ou bien correspondent à des périodes du système J,, . . ., J^^. 



» 2" Le système des (n — k) intégrales 1].^^ K> ^ (^ — ^') variables 



x/,^,, ... , Xn, vérifie des conditions analogues, et ainsi de suite, jusqu'à ce 

 qu'on ait épuisé toutes les variables. 



» On peut d'ailleurs reconnaître algébriquemeni , si un système (i) 

 donné rentre dans la catégorie précédente, le nombre q des branches des 

 fonctions a;,, . . ., x„ étant donné. 



» Mais les systèmes énumérés épuisent-ils les systèmes (i) dont l'inté- 

 grale x^, . . . ,Xn n'a qu'un nombre limité de branches? Pour le cas parti- 

 culier « = 2, ^ = I, la réponse (voir les Comptes rendus du 17 mars) est 

 affirmative. Qu'elle le soit encore pour n et q quelconques, c'est ce que 

 certaines considérations rendent plus que vraisemblables : mais une dé- 

 monstration rigoureuse exigerait une étude analytique approfondie des 

 équations différentielles d'ordre quelconque, étude que je n'ai pu encore 

 que commencer. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Extension du théorème de Cauchy aux systèmes 

 les plus généraux d'équations aux dérivées partielles. Note de M. Etienne 

 Delassus, présentée par M. Darboux. 



« 1. Soit z une fonction des variables x^, x.,, . . ., x,„ rangées dans un 

 ordre déterminé. Considérons les dérivées partielles d'ordre n de z 



d"z 



Nous les rangerons d'abord d'après les valeurs décroissantes de a,, puis 

 celles qui ont même valeur de a, par rapport aux valeurs décroissantes de 

 a^, . . ., de sorte que l'expression : /a/j"^""^ dérivée d'ordre n de z ait un sens 

 précis. 



» Un ensemble de p dérivées d'ordre n àe z sera dit canonique s'il est 

 constitué par les p premières de ces dérivées. 



