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 ment de variables, de façon qu il puisse être résolu régulièrement par rapport 

 à des ensembles canoniques E^ . 



» Une telle résolution sera dite régulière ou canonique et pourra con- 

 duire à un résidu d'équations ne contenant plus les inconnues. 



)) 3. Désignons maintenant par x\, .<, ..., x\,^ les anciennes variables 

 et par x^, x.-,, ..., x^ les nouvelles. J.es coefficients du changement de 

 variables, que nous désignerons d'une façon générale par >., seront consi- 

 dérés jusqu'à nouvel ordre comme des constantes arbitraires. 



)) Soient F, , F^, ... les équations en nombre limité d'après le théorème 

 de M. Tresse, qui définissent un système. Soient $,, $,., ... ces équations 

 transformées. En formant d'une façon systématique les dérivées succes- 

 sives des équations et les conditions d'intégrabilité, on arrivera, au bout 

 d'un nombre limité d'opérations, à prouver l'incompatibilité ou à un sys- 

 tème i", se décomposant en systèmes partiels r;i(j = n) résolus par rapport à 

 des ensembles canoniques Ej satisfaisant aux conditions 



(E/)'<Ef' (,/<„) 



tel que toute dérivée d'une équation d'ordre inférieur à n soit une conséquence 

 des équations de 1" et que la dérivation des équations d'ordre n n'introduise 

 aucune équation d' inté grabilité non conséquence des équations de 1". 



» C'est 1" qui constitue notre forme canonique générale. Elle con- 

 tient les 1 qu'on fixera de façon que leur déterminant ne soit pas nul et 

 que les seconds membres ne soient identiquement ni indéterminés ni in- 

 finis, ce qui est toujours possible, d'après les théorèmes démontrés. 



» 4. On montre que l'intégration d'un système 1" se ramène à l'intégra- 

 tion successive de m systèmes de M"" Ko<,valevski. 



» Soient y',, y'^, . . ., y',^ , les indices de l'ensemble E". Soit en plus y„, 

 qui sera i ou o suivant que l'ensemble E" sera ou ne sera pas nul. 



» Désignons, en outre, d'une façon générale, par S les dérivées d'ordre 

 égal ou inférieur à n, de z,, z.,, ..., z-^, qui ne figurent pas dans les 

 premiers membres de 2". Nous arriverons au théorème général suivant : 



» Donnons-nous arbitrairement les fonctions de x,, x.,, ..., x,„, analy- 

 tiques en x^, x",, x'I^, auxquelles se réduisent les z-^ pour lesquels on a y'„ = i ; 



)) Puis les fonctions de x.,, . . , x,„, analytiques en xl. . . . , x^^, auxquelles 

 se réduisent, pourx, =a;", 



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