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peut être calculé, avec une approximation aussi grande que l'on veut, 

 lorsque la série est donnée. Une fonction entière, en partie arbitraire, que 

 j'ai appelée 9(«), joue un rôle important dans ces recherches ; mais, sauf 

 des cas exceptionnels qu'on peut écarter, au moins dans une première 

 étude, la valeur de la somme ne dépend pas du choix de ^ (a). J'ai étudié 

 spécialement le cas où 9 (a) = c" et signalé l'intérêt qui s'attache à l'hy- 

 pothèse 9 (a) = e"', k étant un entier ; on a aussi des résultats intéressants 

 en prenant pour k un nombre rationnel, et faisant la somme des valeurs 

 conjuguées, de manière à avoir une fonction entière de a, par exemple 



» Le but de cette Note est d'indiquer quelques applications nouvelles 

 des résultats acquis dans cette théorie, résultats dont j'ai eu l'honneur de 

 communiquer les principaux à l'Académie (3o décembre iSgS et i3 jan- 

 vier J896). Ces applications ont été suggérées par la lecture du beau 

 Mémoire de Stieltjes Sur les fractions continues, Mémoire dont je me propose 

 de poursuivre l'étude, dans l'espoir que les idées rappelées ci-dessus et 

 certaines autres développées dans ma Thèse me permettront d'en éclaircir 

 quelques points. 



» Dans ce Mémoire, Stieltjes réduit en fraction continue convergente la 

 série de M. Poincaré 



t\'i^^ i-l-|j. n-2(ji. i + 3|ji. 



ou plutôt son développement divergent suivant les puissances de ;x : 



(p((V, p.) = Ao + A, [j. + A2[i.- -t- 



» Cette série di^'ergente est sommable, si l'on prend 9 (a ) = e^'"-)- <»-*'", 

 dans un domaine auquel appartiennent toutes les valeurs réelles et positives de \j.. 



11 On peut énoncer un résultat analogue pour la célèbre série de Stirling ; 

 d'ailleurs je m'empresse d'ajouter que, si l'on peut espérer étendre ces 

 considérations à un certain nombre des séries asymptotiques de M. Poincaré, 

 il est sûr qu'elles ne s'étendent pas à toutes. Mais on voit dès maintenant 

 que le procédé de calcul, que j'ai donné pour déduire la valeur numérique 

 d'une série divergente des valeurs numériques de ses termes successifs, 

 s'applique à des séries importantes déjà considérées par les géomètres. Ce 

 procédé étant uniforme, c'est-à-dire ne dépendant que des valeurs numé- 

 riques, il sera sans doute aisé, par l'emploi d'artifices de calcul et la con- 

 struction de Tables, d'en simplifier l'application pratique; et dès lors, les 



