( ï8) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Propriétés nouvelles du paramètre différentiel 

 du second ordre des fonctions d'un nombre quelconque de variables indépen- 

 dantes; par M. Haton de la Godpillière. 



« Je demande à l'Académie la permission de l'entretenir quelques in- 

 stants de recherches assez étendues que j'ai faites sur l'expression si impor- 

 tante désignée par Lamé sous le nom de paramètre différentiel du second 

 ordre àes fonctions de trois variables indépendantes, ou encore d'augment^ 

 expression que j'ai adoptée, d'après lui, comme plus courte. On a eu à con- 

 sidérer, dans la théorie de l'élasticité, Vaugment de l'augment, et M. E. 

 Mathieu en a fait une intéressante étude; mais là s'est arrêtée cette super- 

 position d'opérations de ce genre. Je généralise cette considération en 

 envisageant n fois de suite l'augment de l'augment, opération que je dé- 

 signe sous le nom iVaugment du ti""'"" ordre. 



)) Le point de départ de ces recherches est le suivant. On conçoit que le 

 calcul des augments présentera une simplification essentielle, s'il arrive 

 que les fonctions quelconques considérées ne dépendent des variables que 

 par l'intermédiaire d'un certain nombre de fonctions spéciales, que j'ap- 

 pelle t^'piques, et qui soient telles que, de quelque manière que la proposée 

 soit formée à l'aide de ces éléments typiques, ses augments de tous les 

 ordres présentent le même caractère, et renferment de leur côté les variables, 

 non pas d'une manière quelconque et incohérente, mais uniquement sous 

 les mêmes symboles typiques. 



» De là deux ordres de questions : d'une part, détermination, sous leur 

 forme la plus étendue, des fonctions typiques capables de cette propriéié, 

 et, en second lieu, mode de calcul des augments dans ce cas particulier. 

 Ces conditions, que j'appelle particulières, parce qu'en effet elles réalisent 

 un cas spécial , n'en présentent pas moins une très grande généralité; car 

 je fais voir qu'elles renferment elles-mêmes, comme im cas infiniment par- 

 ticulier, le potentiel relatif à une loi d'attraction quelconque. 



)) J'effectue la détercnination des fonctions typiques, et j'arrive à montrer 

 que les seules expressions capables de jouer ce rôle sont celles qui, égalées 

 individuellement à des constantes, représentent des systèmes de sphères 

 (|ueIconqnes; ou de cylindres de révolution ayant leurs axes |)arallèles; ou, 

 enfin, un système formé d'un seul cylindre de révolution et de sphères ayant 

 leurs centres disposés en divers points de son axe. Ce dernier cas est du 

 reste trop spécial pour présenter beaucoup d'intérêt, et je l'ai laissé de côté 



