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 qui donne pour t une seule et unique détermination réelle, on prendra 

 oc^^= e". Cela étant, il est clair que Gis) est une quantité finie pour toute 

 valeur réelle ou imaginaire de s, puisque la limite inférieure de l'intégrale 

 est différente de zéro et représente une fonction holomorphe. 

 » Je remarque encore que, en écrivant 



—- '■ = I — — • e 'x'-* dx, 



tu "^W 



le facteur varie dans le même sens en décroissant entre les limites de 



(■■' — I 



l'intégrale; on a donc, si l'on désigne par X une quantité comprise entre 

 ces limites et par X le facteur de M. Darboux dont le module ne peut dé- 

 passer l'unité, 



Supposons, de plus, que s soit réel, le maximum du facteur e ' X*~' cor- 

 respondant à la valeur X= i{s — i), on en conclut que G[s) a pour 

 maximum l'expression 



Ceci posé, c'est l'intégrale 



dont il s'agit d'obtenir l'extension analytique. Nous supposerons, dans ce 

 but, que cù soit moindre que 2n, ce qui permet d'employer le développe- 

 ment connu 



I I I , B|jr B-.Ï-' , _ I I Y (— ')"B« •'"'""' 



X 2 ^ I .2. . .2« ' 



e* — 1 .r 2 1.2 1.2.3.4 



d'où l'on déduit immédiatement 



r ^'-'d.v ^ ^^^,_ , r_i ^ _Y (-■)"B,.""' 1 



J^ «r^ — I "" \_S — I 2.Ï .^ 1.2. . .2«(2« + f — ijj 



Or l'expression à laquelle on est ainsi amené 



— 1 2.S ^J 



(— il''B„«-'' 



s — 1 2. s ^ 1.2. . .2n{in -{- s — i) 



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