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est une fonction analytique de j; car, ayant 



B„ n'^^-^--- 



1.2. . . in 



le terme général prend cette forme 



i[i + ^_+ 



2.n + s — I \ 27r 



j 



qui met la convergence de la série en évidence pour toute valeur de j, 

 puisque l'on a 



2jr 



» La fonction de Riemann se trouve ainsi étendue à tout le plan par la 

 formule 



où l'on a 



r(.) 



n[(^+;)^''] («=i,2, ...,co). 



Mais, cette fonction holomorphe s'évanouissant pour i' = o, — i, — 2, ..., 

 on voit que le seul pôle s = i subsiste, dans le produit de— —r par la fonction 



F{s) = 0)-' \^--^-\ (-■;"^'-"-" 1. 



\_S — I 2.Ç .^J 1.2. . .2«( ?./? + J — Ijj 



Il suffit ensuite d'observer que, dans ce produit, la fraction est mul- 



tipliée par irr-r' ce qui se réduit à l'unité en supposant J = i , pour obtenir 

 l'expression donnée par Riemann 



où <S?{s) est une fonction holomorphe. Enfin, je remarque que les pôles de 

 F{s) étant les nombres o, — i , — 3, — 5, . . . , la formule 



