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» 7. Les résultats précédents conduisent presque immédiatement au 

 théorème de Jacobi, tel qu'il a été énoncé par M. Halphen dans la Note 

 déjà citée. 



» Commençons par considérer le cas où l'ellipsoïde central du point fixe 

 est une sphère. Si nous introduisons, en même temps que les deux cônes 

 ayant pour base les courbes (H), (H'), le cône (C) déjà défini, qui a pour 

 base la polhodie (P) et qui roule à la fois sur les deux cônes précédents, 

 nous obtiendrons le résultat suivant : 



» Dans le cas où l'ellipsoïde central du point fixe O est une sphère, il 

 existe un système (C), mobile autour de O et jouissant de la double pro- 

 priété suivante : son mouvement absolu est celui d'un corps solide qui ne 

 serait soumis à aucune force; plus exactement, c'est un mouvement de 

 Poinsot, dans lequel le plan invariable est horizontal ; son mouvement par 

 rapport au corps pesant est encore un mouvement de Poinsot pour lequel 

 le plan invariable est perpendiculaire à la droite qui contient le point fixe 

 et le centre de gravité. 



» Dans le cas général, cette proposition s'applique sans modification au 

 corps (B') dont la rotation par rapport à (B) est 



A 

 — n. 



» Il suit de là que le mouvement du système (C) par rapport à (B) 

 s'obtiendra en composant le mouvement de (C) par rapport à (B'), qui est 



un mouvement de Poinsot, avec une rotation constante ^«autour de 



A 

 la perpendiculaire au plan invariable de ce mouvement. Or nous savons, 

 d'après une belle théorie de M. Sylvester, que la composition de ces deux 

 mouvements donnera encore un mouvement de Poinsot. Nous obtenons 

 ainsi, dans toute sa généralité, la proposition de Jacobi : 



» Si l'on considère le mouvement le plus général d'un corps pesant de révo- 

 lution, fixé par un point de son axe, il existe un système auxiliaire (G) qui est 

 animé, et par rapport aux axes fixes et par rapport au corps mobile, d'un mou- 

 vement de Poinsot. Les constantes relatives à ces deux mouvements sont diffé- 

 rentes j les plans invariables sont, le plan horizontal pour le premier mouvement, 

 et le plan perpendiculaire à l'axe pour le second. 



» 8. Nous terminerons en énonçant sans démonstration une série de 

 conséquences des deux propositions données dans les articles précédents. 



» Dans le mouvement du corps (B) l'extrémité de l'axe du couple des quan- 



