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» Par suite, les centres des sphères osciilatrices de ces points P coïn- 

 cident avec les points P' de 2', dont les sphères osculatrices, pour le mou- 

 vement indirect, passent par cinq points consécutifs des trajectoires. 



» Mais, comme la surface de ces points P' de i' est du quatrième ordre, 

 nous pouvons énoncer le théorème suivant : 



>• Soit F" la surface de Informée par les points dont les sphères osculatrices 

 passent par cinq points consécutifs des trajectoires, la surface V', formée par les 

 centres de ces sphères, est de même du quatrième ordre. Pour le mouvement 

 indirect, il faut changer les deux surfaces l'une contre l'autre. 



» 8. De la même manière on déduit que, k"' étant la courbe ( ' ) formée 

 par les points de 2 dont la sphère osculatrice passe par six points consé- 

 cutifs de la trajectoire, la courbe formée par les centres de ces sphères est 

 de même du dixième ordre. Pour le mouvement indirect, il faut changer 

 ces deux courbes l'une contre l'autre. 



)) 9. Il existe aussi une réciprocité pour les axes de courbure Ap des 

 points P de 2 et les axes de courbure k'^ des points Q' de 2' pour le mouve- 

 ment indirect. 



» On sait que les axes de courbure des trajectoires des points d'une 

 droite g forment un hyperboloïde à une nappe. Cherchons toutes les droites 

 g de 2 pour lesquelles l'hyperboloïde se réduit sur un cône. 



» Puisque, à chaque instant, l'ensemble des axes de courbures des 

 points P de 2 forme un complexe du second ordre, K (-), ceux qui pas- 

 sent par un point quelconque Q' de 2' sont les génératrices d'un cône du 

 second ordre. Soient k„, k/,, k^, ... ces axes de courbtue, les points cor- 

 respondants A, B, C, . . . sont situés sur une di'oite A' ; il en résulte que les 

 axes de courbure d'une droite g de 2 forment un cône, si, pour le mou- 

 vement indirect, cette droite est l'axe de courbure k'^ d'un point Q' de 2'. 

 Donc : 



» Toutes les droites de 2 dont les axes de courbure forment un cône 

 sont les droites d'un complexe du second ordre K', complexe des axes de 

 courbure pour le mouvement indirect, et réciproquement; cela veut dire 

 que, pour le mouvement indirect, il f;uit changer les deux complexes l'un 

 contre l'autre. 



>) 10. J'ajoute encore le théorème que, g étant une droite de 2 dont les 

 axes de courbure forment un cône, le sommet de ce cône est le point de 2' 



(') Journal fiir die reine (ind angcivandte nitilliciii<itif(, t. XCVIII, p. '.'.78. 

 (-) Au nièiue endroit, p. 267. 



