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» Remplaçons jl',j'-, z'- par leurs valeurs relatives à un point de la 

 courbe, et, pour exprimer que la distance P est invariable, annulons le 



coefficient de p dans ^' Nous aurons l'équation 



ib — y 



— o. 



(«-p,)(«-p,)(«-6)(«-f) [b-p,)[b-^,){b-a)[b-c] 



^ [c-'^Y 



(c — p,) (c — p,) (c — <?) (c— /; 



à laquelle on peut donner la forme plus simple 



et qui nous fera connaître deux valeurs de k. On voit de plus que ces 

 valeurs ne seront réelles que si p^ et p^ sont respectivement les paramètres 

 d'un ellipsoïde et d'un hyperboloïde à deux nappes. Nous sommes ainsi 

 conduits à cette nouvelle proposition : 



)) Théorème III. — La courbe (C), toutes les fois quelle n'est pas sphé- 

 rinuc, est une pollwdie tracée sur deux surfaces différentes; mais ces surfaces ne 

 sont réelles que dans le cas où tes surfaces normales à la courbe sont des hyper- 

 boldides à une nappe. 



» La proposition suivante, qu'il est aisé de vérifier, explique le résultat 

 précédent : 



» Théorème IV. — Si l'on construit V hyperboloïde qui est normal, en un 

 point M, à la courbe (C), les deux génératrices reclilignes de cet hyperboloïde 

 qui passent en M sont les normales, en ce même point, aux deux surfaces pour 

 lesquelles la courbe est une polhodie. 



» 3. Tous ces hyperboloïdes homofocaux, normaux à une même pol- 

 hodie, possèdent une remarquable propriété cinématique que nous allons 

 d'abord établir. 



» On connaît la correspondance qu'a établie Ivory entre les points de 

 deux ellipsoïdes homofocaux; la méthode d'Ivory peut évidemment être 

 appliquée à deux surfaces homofocales d'une même famille et, en parti- 

 culier, à deux hyperboloïdes à une nappe homofocaux. Les points corres- 

 pondants sur ces deux surfaces se trouveront sur une même trajectoire 

 orthogonale de la famille des hyperboloïdes homofocaux, et le théorème 

 précédent pourra évidemment s'énoncer de la manière suivante : 



