( 2o3 ) 



« La polhodie (C) est le lieu des points correspondants d'un point donné d'un 

 hyperboloïde à une nappe sur tous les hyperboloïdes liomofocaux. 



» La correspondance établie par Ivory étant, comme on sait, une trans- 

 formation iiomographiqne, les génératrices rectilignes de l'nn des hyper- 

 boloïdes auront nécessairement pour lignes correspondantes les génératrices 

 rectilignes sur tous les autres hyperboloïdes liomofocaux. Considérons un 

 segment de l'une quelconque d'entre elles sur un des hyperboloïdes : quand 

 on pissera de cette surface à toutes les antres, ce segment denienrera rec- 

 tiligne; de plus, les trajectoires de ses extrémités seront normales à la sur- 

 face sur laquelle il se trouve et, par suite, au segment lui-même. Donc la 

 longueur de ce segment demeurera constante, et nous pouvons énoncer la 

 proposition suivante, due à M. Greenhill (') : 



Théorème V. — L hyperboloïde à une nappe est suscej)tible d'une déforma- 

 tion dans Inquelle les généi airices rectUignes demeurent rectilignes, les longueurs 

 des côtés de tous les quadrilatères gauches formés par ces génératrices demeurant 

 invariables. Si on le dispose dans l'espace^ de telle manière que son centre et tes 

 directions de ses axes restent fixes, il demeurera constamment homojocal à lui- 

 même et les trajectoires de ses différents points set ont noi maies à ses positions 

 successives (^). 



» Nous pouvons ajouter maintenant que l'un quelconque des points de 

 l'hyperboloïde décrira une polhodie, tracée sur une surface (E), qui sera 

 normale à toutes les positions de l'une des génératrices rectilignes qui pas- 

 sent au point considéré. Par suite, dans la déformation précé(Jente, le plan 

 perpendiculaire à une génératrice rectiligne en un point déterminé demeurera 

 à une distance invariable du centre de la surface; deux points, diamétralement 

 opposés par rapport au centre dans une des positions, conserveront cette relation 

 dans toutes les autres, et les deux jilans perpendiculaires aux deux génératrices 

 parallèles qui passent en ces points demeureront à une distance constante l'un de 

 l'autre. 



» 4. Considérons un des hyperboloïdes (H), normal en un point quel- 



(') Voir TAe Messenger of Mathematics, t. VIII, p. 5l, une Note de M. Cayley : On ihe 

 Déformation of a Mode! of a Hjperboloïd, où se trouve une démonstration analytitiue du 

 théorème de M. Greenhill. 



(^) Avant d'être étudiée par la théorie, cette propriété de l'hyperboloïde avait été uti- 

 lisée par la pratique, au moins dans le cas où la surface est de révolution. Tout le monde 

 connaît ces appareils qui servent de cache-pot, et qui sont formés de liges rigides rattachées 

 à leurs points d'intersection. 



