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 fonction K„ sera une londion de l.anii' d'ordre n ne contenant en fadeur 

 ,^i y/j- — c-, ni \l^'^ — b'^ et ne s'annulant que pour des valeurs de p^ com- 

 prises entre zéro et b-. Pour toute valeur n, il y en a toujours une et une 

 seule; S,,So, S^, . . , S„ seront alors les fonctions conjuguées de R,, R,, . . ., 

 R„. Cela posé, tout ellipsoïde de Jacobi satisfera à la condition 



RjS, _ RjSj 



s'il satisfait en outre à la condition 



R»S, ll„S„ 



il appartiendra à la îois à deux séries linéaires de figures d'équilibre: àsi- 

 voir, la série des ellipsoïdes de Jacobi, et une série de figures 2,j non ellip- 

 soïdales. Quel que soit n, il y aura toujours un ellipsoïde de Jacobi satis- 

 faisant à la condition (i). Nous avons donc démontré l'existence d'une 

 infinité de figures d'équilibre nouvelles ^3, i^, . . ., 2„. 



M La figure 2„ a mêmes plans de symétrie que l'ellipsoïde si n est pair; 

 si n est impair, elle est symétrique par rapport aux plans des xjr et desxz, 

 mais non par rapport au plan des jz. 



» Les figures ^3 sont stables, toutes les autres sont instables. 



)) Les ellipsoïdes de révolution sont stables, s'ils sont moins aplatis que 

 celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi (c'est ce que sir W. 

 ïhomson avait déjà démontré eu supposant qu'on imposait à la masse 

 fluide co;7j/;ie liaison la condition de rester ellipsoïdale; cette condition 

 n'est pas nécessaire). Les ellipsoïdes de Jacobi sont stables s'ils sont moins 

 allongés (suivant le grand axe) que celui qui appartient en même temps à 

 la série des figures 23. . 



» Pour résumer les résultats obtenus, faisons l'iiypothèse suivante : 



» Supposons une masse fluide homogène, se contractant par un refroi- 

 dissement, et imaginons que ce refroidissement soit .issezlent pour qu'elle 

 conserve un mouvement de rotation uniforme dans toutes ses parties et 

 que l'homogénéité subsiste constamment, 



» 11 arrivera alors que cette masse, d'abord presque sphérique, affec- 

 tera la forme d'un ellipsoïde de révolution dont l'excentricité ira sans cesse 

 en croissant, jusqu'à ce qu'elle atteigne la valeur 0,81; la masse deviendra 

 ensuite un ellipsoïde de Jacobi, puis une figure I^. Pour expliquer grossiè- 

 rement la déformation qu'elle subit alors, imaginons que l'ellipsoïde soit 



