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 coupô en deux moitiés par un [plan perpendiculaire au grand axe. En de- 

 venant une figure ^j, l'une des moitiés de l'ellipsoïde s'aplatira et se rap- 

 prochera de la forme hémisphérique, l'autre moitié s'allongera au con- 

 traire de plus en plus. Il est difficile de dire ce qui arrivera ensuite si le 

 refroidissement continue, mais l'examen des figures 1^ porte à croire que 

 la masse ira en s'étranglant dans sa partie moyenne pour se [)artager en- 

 suite en deux masses isolées et inégales. » 



ANALYSK MATHÉMATiQUii. — Sur les différenlitlles des fonctions de plusieurs 

 variables indépendantes. Note de M. E. Goursat, présentée par M. Dar- 

 boux. 



On connaît, d'après les recherches récentes de M. Darhoux [Bulletin 

 des Sciences matliéniatiquts, 2* série, t. V, p. 3^6 et 3t)5), toutes les fonc- 

 tions de plusieurs variables indépendantes telles que la diflérenlielle 

 [n + iy>=™« est exactement divisible par la différentielle «'*■■"*. Dans un tra- 

 vail qui sera publié prochainement, je me suis proposé de rechercher 

 toutes les fonctions d'un nombre quelconque [x de variables indépen- 

 dantes a;,, a?2, ..., x^, telles que les différentielles «'«"»« et («-1-1)"""* 

 admettent un diviseur commun, fonction entière et homogène des dx^. 

 J'indiquerai rapidement, dans cette Note, les résultats que j'ai obtenus. 

 On trouve trois catégories de fonctions répondant à la question, tout à 

 fait analogues aux trois catégories de solutions trouvées par M. Darboux. 



» Je démontre d'aboid que tout diviseur commun à d'f et à d"^*J 

 divise aussi toutes les différentielles à partir de celles-là. Dans le cas de 

 deux variables indépendantes, le problème est susceptihle d'une interpré- 

 tation géométrique qui facilite beaucoup la solution. Soient x *ii j les 

 variables, y(x, /) la fonction et S la surface qui a pour équation en coor- 

 données rectilignes 



(i) z=f{x,j); 



si d"f Ht d"^'/ sont divisibles par un même facteur X.dx-hYdj, par 

 chaque point de la surface S passe une parabole d'ordre n — 1, située tout 

 entière sur la surface et ayant des équations de la forme 



■y — mx -h p, 



z ^ ax"-' + fix"-- -h . . .-h l, 



(2) 



et inversement. Si d"f et d"-^'J sont divisibles par {Xdx ^Ydj-y, pour 



