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 la parabole correspondante, il existera un paraboloïde d'ordre n — i 



où P„_, {x, jr'j désigne un polynôme d'ordre n — i , qui aura un contact 

 d'ordre p — i avec la surface S tout le long de cette parabole. Il est aisé 

 de déduire de là la forme de la fonctiony"(a;, j-). Si le diviseur commun à 

 d"/ et à d''^*J est un facteur linéaire, tel que Xfir + Y rf/, la surface S la 

 plus générale répondant à la question sera engendrée par une parabole 

 d'ordre n — i, ayant des équations de la forme (2), qui se déplace d'une 

 façon arbitraire dans l'espace. 



■1 Si le facteur commun à d"fet à d"'^'f est de la forme 



{Xdx + YdyY, 



la foncliony^aura pour expression 



la fonction u étant définie par l'équatioTi 



X9,(m) -+- }y.,{u) -h '^{u) = o. 



o,, Ç2. ^ sont des fonctions arbitraires du u, et V{x, /) une fonction en- 

 tière de j:^ et de ^ de degré n — p, dont les coefficients sont des fonctions 

 quelconques de u. 



» Enfin, si le facteur commun à d"f el à ^"^'y n'est ni un facteur 

 linéaire ni une puissance parfaite d'un facteur linéaire, la surface S ad- 

 mettra plusieurs modes distincts de génération parabolique. Il est aisé de 

 démontrer que la surface sera algébrique et que son équation sera du pre- 

 mier ou du second degré en z, et l'on n'a plus qu'à rechercher, parmi les 

 surfaces de cette espèce, celles qui admettent des systèmes de sections pa- 

 raboliques par des plans parallèles à l'axe des z. On est conduit à deux ca- 

 tégories de surfaces dont les équations sont les suivantes, abstraction faite 

 d'un polynôme arbitraire de degré n — 1 : 



» 1° Les surfaces ayant pour équation 



lù P(a;, /) est une lonction entière de degré n -\- p — \ . Pour que d'^J ei 

 c^""^'y aient un diviseur commun d'ordre^ par rapport à dx^ dj, l'équa- 



