( 3.1 ) 

 tion P(a7, jr) = o devra représenter une courbe plane ayant q points mul- 

 tiples d'ordre /* sur la droite ax + by + c = o. Les q systèmes de sections 

 paraboliques sont dans des plans ayant pour traces sur le plan des xj des 

 droites passant par l'un de ces points multiples; 

 >) 2° Les surfaces ayant j)oiir équation 



z ^f[oc,j) = Q[x, y) s/R(^77) , 



Q(a:, jr) désignant un polynôme d'ordre n — i, et R(a;, j) un polynôme 

 du second degré. Les plans des sections paraboliques ont pour traces, sur 

 le plan des xy, les tangentes à la conique 'K[x, y) = o. Soit 



R(a' -\-hdx, y -\- h dj) = A 4- i^h -\- Ch- ; 



si (^{x^ y) est divisible par Ri^~', sans être divisible par K^, le diviseur 

 commun à d"fei à d"^*f sera 



(B^-ACf. 



» Les résultats précédents s'étendent aux fonctions d'un nombre quel- 

 conque de variables, et, en résumé, on a trois sortes de solutions : 

 » 1. Les fonctions de la forme 



Il étant défini par l'équation 



X-, y, {u) -+-...+ Xy,ç^^(^n) +-(];(«) = o 



et F désignant une fonction entière des or, de degré n — p, dont les coeffi. 

 cients dépendent de u. Le facteur commun à d'^J et à d"'^*/ est la puis- 

 sance /)''""* d'un facteur linéaire. 

 rt IL Les fonctions de la forme 



J — \i\X,, Xo, ■ . . , x^) yix( J?, , x^i . ■ . , x^j , 



Q étant un polynôme arbitraire de degré n — 2 et R un polynôme quel- 

 conque du second degré. Le facteur commun à d"/et à d"*'/est une puis- 

 sance parfaite d'un facteur quadratique. 



» IlL Les fonctions rationnelles de la forme 



